Câu II 1) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

Bài giải:

$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

$\Leftrightarrow (5^2)^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)-[(4^x+1)+(4x^2+3x+3)]5^y=0$

$\Leftrightarrow [(5^y)^2-(4^x+1)5^y]+[(4^x+1)(4x^2+3x+3)-(4x^2+3x+3)5^y]=0$

$\Leftrightarrow 5^y[5^y-(4^x+1)]+(4x^2+3x+3)[(4^x+1)-5^y]=0$

$\Leftrightarrow [5^y-(4^x+1)][5^y-(4x^2+3x+3)]=0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} 5^y-(4^x+1)=0 (1)\\ 5^y-(4x^2+3x+3)=0 (2) \end{aligned}\right.$

• Xét phương trình (1): $(1) \Leftrightarrow 5^y = 4^x+1 (3)$
  Ta có: $4 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 4^x \equiv 1 \pmod 3  \Rightarrow 4^x+1 \equiv 2 \pmod 3$
  Suy ra y phải là số lẻ (vì nếu y là số chẵn thì $5^y \equiv 1 \pmod 3$)
  Đặt $y=2k+1, k=0,1,2,...$, thay vào (3), ta có:
  $5^{2k+1} = 4^x+1 \Leftrightarrow 5.25^k= 4^x+1$
  Vì $25 \equiv 1 \pmod 8 \Rightarrow 5.25^k \equiv 5 \pmod 8$ 
  Nếu $x \ge 2 \Rightarrow 4^x + 1 = 16.4^{x-2} + 1  \equiv 1 \pmod 8$ (vô lý)
  Vậy $x=1 \Rightarrow y=1$ 
• Xét phương trình (2):$(2) \Leftrightarrow 5^y = 4x^2+3x+3 (4)$
  Do $4x^2+3x+3 = x^2 + 3x^2+3x+3 \equiv x^2 \pmod 3 \Rightarrow 5^y \equiv x^2 \pmod 3$ 
  Mà số chính phương thì chia cho 3 dư 0 hoặc 1 suy ra y phải là số chẵn. Đặt $y=2k$
  $(4) \Leftrightarrow 5^{2k}= 4x^2+3x+3$
  $\Leftrightarrow (5^k)^2 = 4x^2+3x+3 $ 
  $\Rightarrow 4x^2+3x+3$ là số chính phương
  Mà $(2x)^2 < 4x^2+3x+3 < 4x^2+3x+3 + 5x+1 $
  $= (2x)^2+2.2x.2+2^2 = (2x+2)^2$
  Suy ra: $4x^2+3x+3 = (2x+1)^2$
  $\Leftrightarrow4x^2+3x+3=4x^2+4x+1$
  $\Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=2$

Vậy các cặp số nguyên dương (x;y) cần tìm là $(1;1),(2;2)$

Câu I 2) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề: 

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy)\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Đánh số các phương trinh trong hệ: 

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 (1) \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy) (2) \end{aligned}\right.$

Ta đi biến đổi phương trình (2) và sử dụng phương trình (1). Lưu ý hằng đẳng thức:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(2)\Leftrightarrow (x^3+y^3)+1+12(x+y)= (x^3+y^3)+7y^3+6xy(y+3-xy) (3)$

$ \text{VP PT (3)} = 8y^3+6xy[y+(x+y-xy)-xy]+x^3$

$=(2y)^3+6xy(2y+x)+x^3$

$=(2y)^3+3.(2y)^2.x+3.(2y).x^2+x^3=(2y+x)^3$

$ \text{VT PT (3)} = [(x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+[3(x+y)^2-3(x+y)^2]+$

$3(x+y)+9(x+y)+1=[(x+y)^3+3.(x+y)^2+3(x+y)+1]-$

$[3x^2y+3xy^2+3(x+y)^2-9(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3[xy(x+y)+(x+y)^2-3(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3(x+y)(xy+x+y-3)=(x+y+1)^3$

Vậy $(3)\Leftrightarrow (2y+x)^3=(x+y+1)^3$

$\Leftrightarrow 2y+x = x+y+1$

$\Leftrightarrow y = 1$

Thay vào (1) ta tìm được $x=1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1;1)$

Câu 3a, Thi tuyển lớp 10 chuyên, Đại học khoa học năm học 2025-2026

Đề:

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y,z thỏa: $x^2-9y^2+10=3^z$
Bài giải:

$x^2-9y^2+10=3^z$

$\Leftrightarrow (x^2+1) -9y^2+9=3^z$

Nếu $z \ge 1$ thì $3^z \vdots 3$

và $-9y^2\vdots3 \land 9\vdots 3$

Suy ra $x^2+1 \vdots 3$

+ Xét $x=3k$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2 \Rightarrow x^2+1=9k^2+1$ không chia hết cho 3

+ Xét $x=3k+1$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2+6k+1 \Rightarrow x^2+1=9k^2+6k+2=3p-1$ không chia hết cho 3

+ Xét $x=3k-1$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2-6k+1 \Rightarrow x^2+1=9k^2-6k+2=3p-1$ không chia hết cho 3

Do đó không thể tồn tại x để $x^2+1 \vdots 3$

Vậy $z=0$

Phương trình đã cho thành $x^2-9y^2+10=3^0$
$\Leftrightarrow x^2-9y^2+10=1$

$\Leftrightarrow x^2-9y^2+9=0$

Từ đây ta suy ra $x^2\vdots3$ 

nên x có dạng $x=3k$

$9k^2-9y^2+9 =0 $

 $\Leftrightarrow k^2-y^2+1 =0 $

$\Leftrightarrow y^2-k^2 = 1$

$\Leftrightarrow (y-k)(y+k)=1$

$\Rightarrow y-k = 1 \land  y+k =1$

$ \Rightarrow y=1 \land k = 0$

$ \Rightarrow y=1 \land x= 0$

Thử lại bộ (0;1;0) thấy thỏa mãn 

Vậy x=0, y=1, z=0 

Câu 2b, thi tuyển lớp 10 chuyên Bạc Liêu, năm học 2025-2026

 Đề:

Cho a,b,c dương thỏa $abc(a+b+c)=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S=\frac{a^6}{a^4+3b^4}+\frac{b^6}{b^6+3c^6}+\frac{c^6}{c^6+3a^6}$

Lời giải:

Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp cho biểu thức dưới mẫu vì ngược chiều bất đẳng thức, do đó ta phải biến đổi: 
$S=\frac{a^6}{a^4+3b^4}+\frac{b^6}{b^6+3c^6}+\frac{c^6}{c^6+3a^6}$

$=a^2-\frac{3a^2b^4}{a^4+3b^4}+b^2-\frac{3b^2c^4}{b^6+3c^6}+c^2-\frac{3c^2a^4}{c^6+3a^6}$

Ta có:

$a^4+3b^4 = a^4+b^4+b^4+b^4 \ge 4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.b^4}$ (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b)

$\Rightarrow a^4+3b^4 \ge 4ab^3$

$\Rightarrow \frac{3a^2b^4}{a^4+3b^4} \le \frac{3a^2b^4}{4ab^3}=\frac{3}{4}ab \le \frac{3}{4} \frac{a^2+b^2}{2} =\frac{3}{8}(a^2+b^2)$

 (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b)

Tương tự ta có:

$\frac{3b^2c^4}{b^6+3c^6} \le \frac{3}{8}(b^2+c^2)$  (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b=c)

$\frac{3c^2a^4}{c^6+3a^6} \le  \frac{3}{8}(c^2+a^2)$ (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi c=a)

Từ đây ta có:

$ S =a^2-\frac{3a^2b^4}{a^4+3b^4}+b^2-\frac{3b^2c^4}{b^6+3c^6}+c^2-\frac{3c^2a^4}{c^6+3a^6}$

$\ge a^2-\frac{3}{8}(a^2+b^2)+b^2-\frac{3}{8}(b^2+c^2)+c^2-\frac{3}{8}(c^2+a^2)$

$=\frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)$
(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c)
Ngoài ra ta có:
$a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2$ và $(a^2+b^2+c^2)^3 \ge 3^3 (abc)^2$

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c)
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^4 \ge 3^2 [abc (a+b+c)]^2 =3^2$

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$)

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3}$

Vậy $S \ge \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{\sqrt{3}}{4}$
$S_\text{min}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Bài II.2) Đề chọn học sinh giỏi THCS quận Hoàn Kiếm năm học 2023-2024

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $(x^2+3)y^2-y^3+2x^2=2y(2x^2-1)+3$

Bài giải:

$(x^2+3)y^2-y^3+2x^2=2y(2x^2-1)+3$

$\Leftrightarrow x^2y^2+3y^2-y^3+2x^2=4yx^2-2y+3$

$\Leftrightarrow x^2y^2-4yx^2+2x^2=y^3-3y^2-2y+3$

$\Leftrightarrow (y^2-4y+2)x^2=y^3-3y^2-2y+3 (1)$

Vì $y^2-4y+2 \ne 0  \forall y \in Z$ (hai nghiệm là số vô tỉ)

Nên $(1) \Leftrightarrow x^2 = \frac{y^3-3y^2-2y+3}{y^2-4y+2}$

$\Leftrightarrow x^2 = y+1 + \frac{1}{y^2-4y+2} (2)$ 

Vì $ x^2 \in Z \Rightarrow 1 \vdots y^2-4y+2 \Rightarrow y^2-4y+2 = 1 \lor y^2-4y+2 = -1$

* Xét $y^2-4y+2 = 1$

$\Leftrightarrow y^2-4y+1 = 0$ 

Giải phương trình bậc 2 này ta có hai nghiệm y: $2-\sqrt{3}$ và $2+\sqrt{3}$ không phải là số nguyên

* Xét $y^2-4y+2 = -1$

$\Leftrightarrow y^2-4y+3 = 0$ 

Phương trình có 2 nghiệm $y=1$ và $y=3$

+ y = 1, thay vào (2) ta có $x^2=1+1-1$

$\Leftrightarrow x^2=1$

$\Leftrightarrow x=\pm1$

+ y =3, thay vào (2) ta có $x^2=3+1-1$

 $x^2=3+1-1$

$\Leftrightarrow x^2=3$

$\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}$ (loại vì $x \in Z$)

Vậy các bộ số $(x;y)$ cần tìm là $(1;1), (-1;1)$

00:6

2025-08-30

Câu 3b, Thi lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, năm học 2024-2025

 Đề:

Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn $(a+1)(b+1)(c+1)=3abc$
Bài giải:

Do vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử $a \ge b \ge c$, điều này có nghĩa là nếu ta tìm ra đáp số $(a_0;b_0;c_0)$ thì tất cả các hoán vị của bộ này : $(a_0;c_0;b_0),(b_0;a_0;c_0),(b_0;c_0;a_0),(c_0;a_0;b_0),(c_0;b_0;a_0)$ cũng thỏa mãn đẳng thức đã cho.  

Ta có:

$(a+1)(b+1)(c+1)=3abc$

$\Leftrightarrow \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=3$

$\Leftrightarrow (\frac{a+1}{a})(\frac{b+1}{b})(\frac{c+1}{c})=3$

$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=3 (1) $

Từ  $a \ge b \ge c$

$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b} \le \frac{1}{c}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b} \le 1+\frac{1}{c}$

$\Rightarrow 3=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \le (1+\frac{1}{c})^3$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{c} \ge \sqrt[3]{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{c} \ge \sqrt[3]{3} -1 $

$\Rightarrow c  \le \frac{1}{\sqrt[3]{3} -1} < 2.3 $

Do c là số nguyên dương nên $c=1$ hoặc $c=2$

+ Xét c=1 

Thay c =1 vào (1) ta có:

$ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{1})=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})2=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=\frac{3}{2} $

Từ  $a \ge b $

$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \le (1+\frac{1}{b})^2$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{b} \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt{\frac{3}{2}} -1 $

$\Rightarrow b  \le \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}} -1} < 4.5 $

Do b là số nguyên dương nên b=1,2,3,4 

* b = 1, thay c=1,b=1 vào biểu thức ban đầu ta có:

 $(a+1)(1+1)(1+1)=3a.1.1$ 

$\Rightarrow 4(a+1)=3a$

$\Rightarrow a=-4$ (loại khả năng này vì a nguyên dương)

* b = 2, thay c=1, b=2 vào biểu thức ban đầu ta có:

 $(a+1)(2+1)(1+1)=3a.2.1$ 

$\Rightarrow 6(a+1)=6a$ 

$\Rightarrow 6=0$ (vô lý, loại khả năng này) 

* b = 3, thay c=1, b=3 vào biểu thức ban đầu ta có:

 $(a+1)(3+1)(1+1)=3a.3.1$ 

$\Rightarrow 8(a+1)=9a$

$\Rightarrow a=8 $ (thỏa điều kiện)

* b = 4, thay c=1, b=4 vào biểu thức ban đầu ta có:

$(a+1)(4+1)(1+1)=3a.4.1$

$\Rightarrow 10(a+1)=12a$

$\Rightarrow 2a=10$

$\Rightarrow a=5$ (thỏa điều kiện) 

Vậy với c=1, ta thu được hai bộ số $(8;3;1),(5;4;1)$ thỏa mãn đẳng thức đã cho

+ Xét c = 2

Thay c =2 vào (1) ta có:

$ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{2})=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\frac{3}{2}=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=2 $

Từ  $a \ge b $

$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow 2 =(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \le (1+\frac{1}{b})^2$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{b} \ge \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt{2} -1 $

$\Rightarrow b  \le \frac{1}{\sqrt{2} -1} < 2.5 $

Do b là số nguyên dương lớn hơn hay bằng c nên b chỉ có thể là 2 

Thay b=2, c=2 vào biểu thức đã cho ta có:

$(a+1)(2+1)(2+1)=3a.2.2$

$\Leftrightarrow 9(a+1)=12a$

$\Leftrightarrow 3a=9$

$\Leftrightarrow a=3$ (thỏa điều kiện)
Vậy trường hợp c=2 ta thu được 1 bộ số $(3;2;2)$ thỏa đẳng thức đã cho
Đáp số:

Các số (a;b;c) cần tìm là $(8;3;1),(5;4;1),(3;2;2)$ và các hoán vị của chúng.

Câu 2a, Thi chuyên 10 Bạc Liêu, năm học 2025-2026

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+(x-1)(y+1) =2y^2-1 \\&x^2+y^2-10= 0\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Biến đổi phương trình thứ nhất:

$x^2+(x-1)(y+1) =2y^2-1$

$\Leftrightarrow x^2+xy+x-y-1=2y^2-1$

$\Leftrightarrow 2y^2+(1-x)y-x^2-x=0$

Giải phương trinh bậc hai này theo biến y.

Ta có $\Delta = (1-x)^2-4.2.(-x^2-x)=x^2-2x+1+8x^2+8x=9x^2+6x+1=(3x+1)^2 \ge 0 \forall x$

Ta tính ra được $y=x$ hoặc $y = -\frac{x+1}{2}$

• $y = x$ thay vào phương trình thứ 2 ta có:
  $x^2+x^2-10=0$
  $\Leftrightarrow 2x^2=10$
  $\Leftrightarrow x^2 = 5$
  $ \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}$
  Ta thu được hai nghiệm $(-\sqrt{5};-\sqrt{5}), (\sqrt{5};\sqrt{5})$
• $y = -\frac{x+1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta có:
  $x^2+(-\frac{x+1}{2})^2-10=0$
  $\Leftrightarrow 5x^2+2x-39=10$
  Giải phương trình bậc hai này ta có hai nghiệm $x=-3$ và $x=\frac{13}{5}$
  Tương ứng với $y=1$ và $y=-\frac{9}{5}$
  Ta thu thêm hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(-3;1),(\frac{13}{5};-\frac{9}{5})$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

$(-\sqrt{5};-\sqrt{5}), (\sqrt{5};\sqrt{5}),(-3;1),(\frac{13}{5};-\frac{9}{5})$

Câu 4, Thi tuyển lớp 10 chuyên Bạc Liêu năm học 2025-2026

Đề:
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x(x-y-1)+y(y-1)=3$
Lời giải:
$x(x-y-1)+y(y-1)=3$
$\Leftrightarrow x^2-(y+1)x+y^2-y-3=0$
Giải phương trình bậc hai theo nghiệm x. Ta có: $\Delta = (y+1)^2 -4(y^2-y-3) = (y^2+2y+1)-4y^2+4y+12 = -3y^2+6y+13$
Để phương trình có nghiệm x thì $\Delta \ge 0$
$\Leftrightarrow -3y^2+6y+13 \ge 0$
$\Leftrightarrow 1-\frac{4}{\sqrt{3}} \le y \le 1+\frac{4}{\sqrt{3}}$
Do y là số nguyên dương nên $y=1,2,3$ Thay giá trị của y lần lượt vào công thức tính x:$x=\frac{y+1 \pm \sqrt{-3y^2+6y+13}}{2}$

• $y=1$ thì $x=-1 \lor x=3$ vì x là số nguyên dương nên chọn nghiệm $x=3$
• $y=2$ thì $x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$ vì x là số nguyên dương nên loại cả hai nghiệm này.
• $y=3$ thì $x=1 \lor x=3$ cả hai đều là số nguyên dương nên ta nhận cả hai nghiệm này.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên dương:$(1;3),(3;3),(3;1)$

Câu 1b, Thi 10 Chuyên Bạc Liêu năm học 2025-2026

Đề: Cho x,y,z dương thỏa mãn $xyz=1$
Tính giá trị biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}$
Bài giải: $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1} (1)$
Biến đổi P như sau:
$P=\frac{\sqrt{x}.\sqrt{z}}{(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1).\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}.\sqrt{x}}{(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1).\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}.\sqrt{y}}{(\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1).\sqrt{y}}$
$=\frac{\sqrt{xz}}{1+\sqrt{xz}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{yz}}{1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}}$
$P=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1} (2)$
Biến đổi P theo cách khác:
$P=\frac{\sqrt{x}.\sqrt{yz}}{(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1).\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{y}.\sqrt{xz}}{(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1).\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{z}.\sqrt{xy}}{(\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1).\sqrt{xy}}$
$=\frac{1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{z}+1+\sqrt{xz}}+\frac{1}{(\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}}$
$P=\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1} (3)$
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:
$3P=(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1})$ $+(\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1})$ $+(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}) $
$=(\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1})+$ $(\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1})+$ $(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}+\frac{1}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1})$
$=1+1+1=3$
$\Rightarrow P = 1$
Đáp số:$P=1$

Câu 1a, Thi 10 Chuyên Bạc Liêu năm học 2025-2026

 Đề:

Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{5}$

Lời giải:
$A=\sqrt{8+2\sqrt{15}} +\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{5}$
$=\sqrt{3+2\sqrt{3}\sqrt{5}+5}+\sqrt{4-2.2.\sqrt{3}+3}-\sqrt{5}$
$=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}+\sqrt{2^2-2.2.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}-\sqrt{5}$
$=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}-\sqrt{5}$
$=(\sqrt{3}+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})-\sqrt{5}$
$=2$
Đáp số: $A=2$

Câu 2b, Thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm học 2024-2025

 Đề:

Giải hệ phương trình 

$\left \lbrace \begin{aligned}&(x+y)(4x+y) = 5x+2y-1 \\&2x^2-5x+2\sqrt{x+y}-\sqrt{3x-1} = 0\end{aligned}\right.$

Lời giải:

Điều kiện $3x-1\ge0 \land x+y \ge0 \Leftrightarrow y \ge -x \land x\ge \frac{1}{3}$

Phương trình thứ nhất $\Leftrightarrow 4x^2+5xy+y^2=5x+2y-1$

$\Leftrightarrow y^2+(5xy-2y)+(4x^2-5x-1)=0$

$\Leftrightarrow y^2+(5x-2)y+(4x^2-5x-1)=0$

Giải phương trình bậc 2 theo biến y, ta có hai hai nghiệm $y=1-x$ và $y=1-4x$

• Trường hợp $y=1-x$ thay vào phương trình thứ 2:
  $2x^2-5x+2\sqrt{1}-\sqrt{3x-1} = 0$
  $\Leftrightarrow \sqrt{3x-1} = 2x^2-5x+2$
  $\Rightarrow 3x-1 = (2x^2-5x+2)^2$
  $\Leftrightarrow  4x^4-20x^3+33x^2-23x+5=0$
  $\Leftrightarrow (x^2-3x+1)(4x^2-8x+5)=0 (1)$
  Do $4x^2-8x+5 = 4(x^2-2x+1)+1 = 4(x-1)^2+1 \ge 1 \forall x$ 
  Nên $(1) \Leftrightarrow x^2-3x+1 = 0$
  Phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$;$x_2=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$
  Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $x\ge \frac{1}{3}$

Trường hợp $y=1-4x$ :
Từ diều kiện $y \ge -x$, ta có: $1-4x \ge -x \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}$ 
Kết hợp điều kiện $x\ge \frac{1}{3}  \Rightarrow x = \frac{1}{3}$. 
Thay vào phương trình thứ 2 ta thấy giá trị này không thỏa.
Đáp số:
Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:$(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2};-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}), (\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2};-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2})$

Câu 2a, Thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, năm 2024-2025

 Đề:

Giải phương trình:

$4x^3+31x^2-27=12(x^2+x)\sqrt{1-x}$ 

Bài giải:

Điều kiện: $x \le 1$

$4x^3+31x^2-27=12(x^2+x)\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow (4x^3+4)+(31x^2-31)-12x(x+1)\sqrt{1-x}=0$

$\Leftrightarrow 4(x^3+1)+31(x^2-1)-12x(x+1)\sqrt{1-x}=0$

$\Leftrightarrow 4(x+1)(x^2-x+1)+31(x-1)(x+1)-12x(x+1)\sqrt{1-x}=0$

$\Leftrightarrow (x+1)[4(x^2-x+1)+31(x-1)-12x\sqrt{1-x}]=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x+1 = 0 (1)\\4(x^2-x+1)+31(x-1)-12x\sqrt{1-x} = 0(2)\end{aligned}\right.$

$(1) \Leftrightarrow x = -1$

$(2) \Leftrightarrow [4x^2-2.2x.3\sqrt{1-x}+9(1-x)]+[27(x-1)-9(1-x)]=0$

$\Leftrightarrow (2x-3\sqrt{1-x})^2-(6\sqrt{1-x})^2=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x-3\sqrt{1-x}+ 6\sqrt{1-x}= 0 \\2x-3\sqrt{1-x}- 6\sqrt{1-x} = 0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x+3\sqrt{1-x}= 0 (3) \\2x-9\sqrt{1-x}= 0 (4) \end{aligned}\right.$

$(3) \Leftrightarrow 2x = -3\sqrt{1-x} (5)$ 

Điều kiện $ x \le 0$ 

$(5) \Rightarrow 4x^2 = 9(1-x)$

$\Leftrightarrow 4x^2+9x-9=0$

Giải phương trình bậc hai ta có hai nghiệm $ x= -3 $ và $x=\frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện $ x \le 0$  ta nhận nghiệm $ x= -3 $

$(4) \Leftrightarrow 2x = 9\sqrt{1-x} (6)$ 

Điều kiện $ x \ge 0$ kết hợp điều kiện ban đầu ta có điều kiện cho x là $ 0 \le x \le 1$

$(6) \Rightarrow 4x^2 = 81(1-x)$

$\Leftrightarrow 4x^2+81x-81=0$

Giải phương trình bậc hai ta có hai nghiệm $x=-\frac{81}{8}-\frac{9\sqrt{97}}{8}$ và $x=-\frac{81}{8}+\frac{9\sqrt{97}}{8}$
Kiểm tra điều kiện  $ 0 \le x \le 1$ ta chỉ nhận nghiệm $x=-\frac{81}{8}+\frac{9\sqrt{97}}{8}$
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
$x_1=-1$; $x_2=-3$; $x_3=-\frac{81}{8}+\frac{9\sqrt{97}}{8}$

Câu 6, Thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, năm 2024-2025

Đề:
Trong hình lục giác đều có cạnh bằng 4 có 257 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hình vuông có cạnh bằng 1 chứa ít nhất 5 điểm (có thể thuộc cạnh hình vuông) trong các điểm đã cho.
Lời giải:
Đặt lục giác đều vào bên trong 1 hình vuông có cạnh là 8. Do khoảng cách xa nhất giữa hai điểm trên lục giác đều là 8 nên lục giác đều nằm trọn vẹn trong hình vuông này. 

Kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông để tạo thành lưới 8 x 8 = 64 hình vuông có cạnh bằng 1. 

Do 257 = 64.4 + 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet thì sẽ tồn tại 1 hình vuông chứa ít nhất là 4 + 1 = 5 điểm trong 257 điểm này.

Câu 1b, Thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, năm học 2024-2025

Đề: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=6 và $a^2+b^2+c^2=12$. Tính giá trị của biểu thức: $P = (a-3)^{2024}+(b-3)^{2024}+(c-3)^{2024}$
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức BSC cho hai bộ số (a;b;c) và (1;1;1) ta có: $(a.1+b.1+c.1)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \le (a^2+b^2+c^2).3$
$\Leftrightarrow 6^2 \le 12.3$
Dấu "=" của bất đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{1} = \frac{c}{1}$ $\Leftrightarrow a = b = c$
Kết hợp với điều kiện $a + b + c = 6$
$\Rightarrow a = b = c = 2$
Vậy $ P = (a-3)^{2024}+(b-3)^{2024}+(c-3)^{2024} $
$= (2-3)^{2024}+(2-3)^{2024}+(2-3)^{2024} = 3.(-1)^{2024} = 3$
Đáp số: $P = 3$

Câu 43 Đề Toán Tốt nghiệp THPT 2024 (mã đề 123)

Đề bài:

Lời giải:

Vì phương trình có hai nghiệm phức và phần ảo khác 0 nên $\Delta \lt 0$
$|z_1| = \sqrt{(\frac{-b}{2a})^2+(\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a})^2}=\sqrt{\frac{b^2-\Delta}{4a^2}}=\sqrt{\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{c}{a}}$
Từ điều kiện $|z_1|=\frac{1}{\sqrt{k}}$
Ta suy ra $a=kc$

Vì $z_1-z_2$ có phần ảo bằng phần ảo số phức $2z_1$ và phần thực bằng 0
Nên từ: $|2z_1-\frac{1}{9}|=|z_1-z_2|$ ta suy ra được phần thực của số phức $2z_1-\frac{1}{9}$ phải bằng 0 suy ra $\frac{-b}{a}-\frac{1}{9}=0$
hay $a=-9b$ hay $b=-\frac{kc}{9}$ 
Do $z_3-w$ là thuần ảo nên có phần thực bằng nhau.
Gọi $m$ là phần ảo của $z_3$ ($m \in Z$)

$|z_3| \le |w|$

suy ra $m^2 \le \frac{-\Delta}{4c^2} = \frac{4ac-b^2}{4c^2}=\frac{4(kc)(c)-(-\frac{kc}{9})^2}{4c^2}$

hay $m^2 \le k-\frac{k^2}{324}$
Để có đúng 9 số nguyên $m$ thỏa bất đẳng thức này thì:
$16 \le  k-\frac{k^2}{324} \lt 25$
Giải bất phương trình kép bậc 2 với ẩn số là k ta có nghiệm:
$162-18\sqrt{65} \le k \lt 162-36\sqrt{14} $ hoặc $162+36\sqrt{14} \le k \lt 162+18\sqrt{65} $ 

vì k là số nguyên suy ra $17 \le k \le 27$ hoặc $297 \le k \le 307$
Vậy có 22 số nguyên k.
Đáp án Ⓒ.

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 15

 Đề: Cho $\triangle{DEF}$ nhọn, ba đường cao DM, EN, FP cắt nhau tại I.

a) Chứng minh $\triangle{DEN} \sim \triangle{DFP}$

b) Chứng minh $EI.MF = MI.FD$

c) Cho PE = 7cm, PD = 18cm, PF=24cm. Tính PN

Giải:

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 14

 Đề:

Cho $\mathrm{△}���$ $\triangle{ABC} nhọn (AB < AC) có các đường cao AE, BF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh $\triangle{AEC} \sim \triangle{BFC}$

b) Chứng minh $\widehat{BAC} = \widehat{FEC}$

c) Gọi M là trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng a, b cắt AH và AB lần lượt tại N và D. Chứng minh: $NC=ND$

Bài giải:

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 13

 Đề:

Cho $\triangle{ABC}$ nhọn (AB < AC) có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H

a) Chứng minh $\triangle{HAE} \sim \triangle{HBD}$

b) Kẻ $EK \perp BC$ tại K. Chứng minh $KE^2 = KB.KC$

c) Gọi M là trung điểm của AB. Kẻ $DI \perp AC$ tại I. Gọi N là giao điểm của IK và MC. Chứng minh: N là trung điểm của IK
Bài giải:

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 12

 Đề:

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A (AB < AC) có đường cao AE

a) Chứng minh: $\triangle{ABC} \sim \triangle{EAC}$ và $AE^2=BE.EC$

b) Trên tia đối BA lấy điểm O sao cho $BA = BO$. Kẻ $AD \perp OC$ tại D. Chứng minh $\widehat{EAD} = \widehat{BCO}$

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt BC tại S. Chứng minh S là trung điểm của EC

Bài giải:

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 16

 Đề:

Cho $\triangle{ABC}$ nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H

a) Chứng minh: $\triangle{HEA}$ đồng dạng $\triangle{HDB}$

b) Chứng minh:$CA.CE=CB.CD$ và $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$

c) Gọi G là giao điểm của KE và BC, S là trung điểm BC. Chứng minh:$DS.DG=DB.DC$

Bài giải: