Hiển thị các bài đăng có nhãn Maths. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn Maths. Hiển thị tất cả bài đăng

15/03/2023

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 15

 Đề: Cho $\triangle{DEF}$ nhọn, ba đường cao DM, EN, FP cắt nhau tại I.

a) Chứng minh $\triangle{DEN} \sim \triangle{DFP}$

b) Chứng minh $EI.MF = MI.FD$

c) Cho PE = 7cm, PD = 18cm, PF=24cm. Tính PN

Giải:



Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 14

 Đề:

Cho  $\triangle{ABC} nhọn (AB < AC) có các đường cao AE, BF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh $\triangle{AEC} \sim \triangle{BFC}$

b) Chứng minh $\widehat{BAC} = \widehat{FEC}$

c) Gọi M là trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng a, b cắt AH và AB lần lượt tại N và D. Chứng minh: $NC=ND$

Bài giải:



12/03/2023

Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 13

 Đề:

Cho $\triangle{ABC}$ nhọn (AB < AC) có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H

a) Chứng minh $\triangle{HAE} \sim \triangle{HBD}$

b) Kẻ $EK \perp BC$ tại K. Chứng minh $KE^2 = KB.KC$

c) Gọi M là trung điểm của AB. Kẻ $DI \perp AC$ tại I. Gọi N là giao điểm của IK và MC. Chứng minh: N là trung điểm của IK
Bài giải:



Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 12

 Đề:

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A (AB < AC) có đường cao AE

a) Chứng minh: $\triangle{ABC} \sim \triangle{EAC}$ và $AE^2=BE.EC$

b) Trên tia đối BA lấy điểm O sao cho $BA = BO$. Kẻ $AD \perp OC$ tại D. Chứng minh $\widehat{EAD} = \widehat{BCO}$

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt BC tại S. Chứng minh S là trung điểm của EC

Bài giải:



Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 16

 Đề:

Cho $\triangle{ABC}$ nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H

a) Chứng minh: $\triangle{HEA}$ đồng dạng $\triangle{HDB}$

b) Chứng minh:$CA.CE=CB.CD$ và $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$

c) Gọi G là giao điểm của KE và BC, S là trung điểm BC. Chứng minh:$DS.DG=DB.DC$

Bài giải:



Toán 8 (Giữa HK2) Bài số 11

 Đề bài:

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Vẽ BD là đường phân giác trong của $\triangle{ABC}$, BD cắt AH tại I.

a) Chứng minh: $\triangle{ABC}$ đồng dạng $\triangle{HBA}$

b) Cho HB = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH và chứng minh: $BI.BA = BH.BD$

c) Trên tia đối AH lấy điểm M, vẽ tia $Cx \perp MB$ tại K. Lấy E trên tia Cx sao cho $BE=BA$. Chứng minh: $\triangle{BEM}$ vuông

Bài giải:



19/06/2022

Bài 5, Đề Toán Tuyển sinh lớp 10 (Hà Nội), năm 2022

 Đề bài:

Với các số thực không âm x và y thoả mãn $x^2+y^2=4$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$

Bài giải:

Ta có:

$4=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \le (x+y)^2$

$\Rightarrow x+y \ge 2$

$\Rightarrow P = x+2y \ge 2+y \ge 2$

$\Rightarrow Min(P) =2$

Dấu "=" xảy ra khi $-2xy = 0 \land y =0 \Rightarrow y =0 \Rightarrow x=2$

Vậy $Min(P)=2$ khi $x=2 \land y=0$

Ta cũng có thể tìm $Max(P)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxski cho hai bộ số (1,2) và (x,y) ta có:

$(1.x+2.y)^2 \le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5.4=20$

$\Rightarrow P =x+2y \le 2\sqrt{5}$

Vậy $Max(P)=2\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{x}=\frac{2}{y} \iff y=2x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$


07/05/2022

Hình học 7-Dạng 1-Bài 2 (Ôn tập thi HK2 2021-2022)

Cho $\triangle ABC$ cân tại B có $\widehat{BAC}=53^o$, BN là tia phân giác của góc B.
a) Tính số đo của góc ABC
b) Chứng minhg: $\triangle BAN = \triangle BCN$
c) Kẻ $AE \perp BC$ ($E\in BC$), $CI \perp AB$ ($I \in AB$). Chứng minh: $\triangle CEA = \triangle AIC$
d) Chứng minh: $AC // IE$
e) Gọi S là giao điểm của AE và CI. Chứng minh: B,S,N thẳng hàng
Bài giải:

a) Tính số đo góc ABC:
Do $\triangle ABC$ cân tại B nên: $\widehat{BCA}=\widehat{BAC}=53^o$
Ta có:$\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{BAC} = 180^o$
$⇔ \widehat{ABC} + 53^o+53^o=180^o$
$⇔ \widehat{ABC} + 106^o=180^o$
$⇔ \widehat{ABC} = 180^o - 106^o$
$⇔ \widehat{ABC} = 74^o$
Vậy $\widehat{ABC} = 74^o$
b) Chứng minhg: $\triangle BAN = \triangle BCN$
Ta có: $\begin{cases} BA = BC \text{ (} \triangle ABC \text{ cân tại B)}\\ BN \text{ cạnh chung}\\ \widehat{ABN}=\widehat{CBN} \text{( BN là tia phân giác)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle BAN = \triangle BCN$ (c-g-c)
c) Chứng minh: $\triangle CEA = \triangle AIC$
Xét hai tam giác vuông CEA và AIC:
$\begin{cases} \text{Cạnh huyền } AC \text{ chung}\\ \widehat{ECA}=\widehat{IAC} \text{ (} \triangle ABC \text{ cân tại B)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CEA = \triangle AIC$ (cạnh huyền-góc nhọn)
d) Chứng minh: $AC // IE$
Từ $\triangle CEA = \triangle AIC$
$\Rightarrow CE = AI$
$\Rightarrow BE = BI$
$\Rightarrow \triangle BEI$ cân tại B
$\Rightarrow \widehat{BEI} = \widehat{BCA} = \frac{180^o-\widehat{EBI}}{2}$ (ở vị trí đồng vị)
$\Rightarrow AC //IE$
e) Chứng minh B,S,N thẳng hàng
Xét $\triangle ABC$: $\begin{cases} CI \perp AB\\ AE \perp BC\\ S = CE \cap CI \end{cases}$
$\Rightarrow S$ là trực tâm của $\triangle ABC$
Ngoài ra $\triangle ABC$ cân tại B nên đường phân giác BN cũng là đường cao
$\Rightarrow S \in BN$
hay B,S,N thẳng hàng

04/05/2022

Hình học 7-Dạng 1-Bài 1 (Ôn tập thi HK2 2021-2022)

Đề: Cho $\triangle CEF$ cân tại C, tia phân giác của góc C cắt EF tại M.
a. Chứng minh: $\triangle CME = \triangle CMF$
b. Chứng minh: M là trung điểm của EF
c. Kẻ $MH \perp CE$ tại H, $MK \perp CF$ tại K. Chứng minh: $CH = CK$.
d. Chứng minh: $HK // EF$.
e. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng HM, cắt HM tại O. Chứng minh $\triangle MKO$ cân.
Bài giải:

a. Chứng minh: $\triangle CME = \triangle CMF$
$\begin{cases} CE = CF \text{ (do } \triangle CEF \text{ cân tại C)}\\ \widehat{ECM} = \widehat{FCM} \text{ (do CM là tia phân giác)}\\ CM \text{ chung} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CME = \triangle CMF$ (c-g-c) (đpcm)
b.Chứng minh: M là trung điểm của EF
Do $\triangle CME = \triangle CMF$ (chứng minh câu a)
nên $ME = MF$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của EF (đpcm)
c.Chứng minh: $CH = CK$.
Xét hai tam giác vuông CHM và CKM.
Ta có: $\begin{cases} \widehat{HCM} = \widehat{KCM} \text{ (do CM là tia phân giác)}\\ CM \text{ chung} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CHM = \triangle CKM$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow CH = CK$
d. Chứng minh $HK // EF$
$\triangle CEF$ cân tại C, $CM$ là phân giác $\Rightarrow CM$ cũng là đường cao $\Rightarrow CM \perp EF$
$CH = CK \Rightarrow \triangle CHK$ cân tại C $\Rightarrow CM$ cũng là đường cao $\Rightarrow CM \perp HK$
Suy ra $HK // EF$ (đpcm)
e. Chứng minh $\triangle MKO$ cân:
Xét hai tam giác vuông HME và OMF
Ta có:
$\begin{cases} ME = MF \text{ (chứng minh ở câu b)}\\ \widehat{EMH} = \widehat{FMO} \text{ (đối đỉnh)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle HME = \triangle OMF$
$\Rightarrow MH = MO$(1)
Mà: $ \triangle CHM = \triangle CKM$ (chứng minh ở câu c)
$\Rightarrow MH = MK$(2)
Từ (1) và (2) ta có: $MK = MO \Rightarrow \triangle MKO$ cân tại M (đpcm)

30/05/2021

Question 6-SASMO 2014-Grade 6

Question 6:
 
 The diagram shows a quadrant OAB of a circle with centre O and radius 7 cm. Given that the perimeter of the rectangle OPQR is 20 cm, find the perimeter of the shaded region. (Take $\pi$ to be $\frac{22}{7}$.)

Bài giải: 
Ta có PR = OQ = 7 cm (bán kính cung tròn)
Gọi C là chu vi của phần hình được tô đậm.
Ta có C = $ PR + RB + \overparen{BA}+AP $
=$ PR + (OB - OR) + \overparen{BA} + (OA - OP) $
= $PR + OB + OA -(OR+OP) +\overparen{BA}$
= $7 + 7 + 7 - \frac{1}{2}\times20 + \frac{1}{4} \times 2 \times \pi\times 7$
= $21 - 10 +\frac{1}{4}\times 2 \times \frac{22}{7}\times 7$
= 11 + 11 = 22 (cm)
Đáp số: 22 cm    

29/05/2021

Question 5-SASMO 2014-Grade 6

Question 5:
 
 Find the value of
$(1+\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{3})\times(1+\frac{1}{4})\times\cdots\times(1+\frac{1}{2014})$

Bài giải: $(1+\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{3})\times(1+\frac{1}{4})\times\cdots\times(1+\frac{1}{2014})$ $=\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times\cdots\times\frac{2015}{2014}$ $=\frac{2015}{2}$
Đáp số:$\frac{2015}{2}$

23/05/2021

Question 4-SASMO 2014-Grade 6

Question 4:
 
 A shop sells sweets where every 3 sweet wrappers can be exchanged for one more sweet. Catherine has enough money to buy only 26 sweets. What is the biggest number of sweets that she can get from the shop?
Bài giải:
26 cái kẹo thì có 26 cái vỏ kẹo.
26 vỏ kẹo đổi được 8 cái kẹo + 2 cái vỏ kẹo.
8 cái kẹo + 2 cái vỏ kẹo thì có 10 cái vỏ kẹo.
10 cái vỏ kẹo thì đổi được 3 cái kẹo + 1 cái vỏ kẹo
3 cái vỏ kẹo + 1 cái vỏ kẹo thì có 4 cái vỏ kẹo.
4 cái vỏ kẹo thì đổi được thêm 1 cái kẹo + 1 cái vỏ kẹo
1 cái kẹo + 1 cái vỏ kẹo thì có 2 cái vỏ kẹo.
Tóm lại ta có tổng số kẹo là 26 + 8 + 3 + 1 = 38 cái kẹo.
Đáp án: 38 cái kẹo
Ở đây có bạn nói ơ sao không mượn shop 1 cái vỏ kẹo để gộp với 2 cái vỏ kẹo cuối cùng đổi thành viên kẹo. Ăn viên kẹo cuối thì có vỏ kẹo trả lại cho shop. Thông minhh thật nhưng không đúng đáp án vì không đúng luật chơi rùi.

08/05/2021

Giải Bài thi HK2 Toán 6 Tân Bình 2020-2021

 Đề:

Bài giải:
Bài 1:
a) $\frac{-4}{9}-1+\frac{5}{6}$
= $\frac{-4}{9}-\frac{9}{9}+\frac{5}{6}$
= $\frac{-13}{9}+\frac{5}{6}$
= $\frac{-26}{18}+\frac{15}{18}$
= $\frac{-11}{18}$
b) $\frac{-3}{8}.\frac{24}{29}+\frac{-5}{6}.\frac{24}{29}$
=$\frac{24}{29}(\frac{-3}{8}+\frac{-5}{6})$
=$\frac{24}{29}(\frac{-9}{24}+\frac{-20}{24})$
=$\frac{24}{29}.\frac{-29}{24}$
=-1
c) $75\%+(1,25-2\frac{3}{4}):\frac{9}{2}$
=$\frac{3}{4}+(\frac{5}{4}-\frac{11}{4}):\frac{9}{2}$
=$\frac{3}{4}+\frac{-6}{4}:\frac{9}{2}$
=$\frac{3}{4}+\frac{-3}{2}.\frac{2}{9}$
=$\frac{3}{4}+\frac{-1}{3}$
=$\frac{9}{12}+\frac{-4}{12}$
=$\frac{5}{12}$
Bài 2:
a) $\frac{1}{6}-x=\frac{-5}{18}$
$\frac{1}{6}-\frac{-5}{18}=x$
$x = \frac{3}{18}-\frac{-5}{18}$
$x = \frac{8}{18}$
$x = \frac{4}{9}$
b) $\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{8}$
$\frac{1}{2}x =-\frac{5}{8}+\frac{3}{4}$
$\frac{1}{2}x =-\frac{5}{8}+\frac{6}{8}$
$\frac{1}{2}x =\frac{1}{8}$
$x =\frac{1}{8}:\frac{1}{2}$
$x =\frac{1}{8}.2$
$x =\frac{1}{4}$
c) $(\frac{1}{2}+\frac{3}{5}x)+0,5=1\frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2}+\frac{3}{5}x)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$ \frac{1}{2}+\frac{3}{5}x=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$
$ \frac{1}{2}+\frac{3}{5}x=1$
$ \frac{3}{5}x=1-\frac{1}{2}$
$ \frac{3}{5}x=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}$
$ \frac{3}{5}x=\frac{1}{2}$
$ x=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}$
$ x=\frac{1}{2}.\frac{5}{3}$
$ x=\frac{5}{6}$
Bài 3:
Số tiền đã giảm giá là: 20%.300000 = 60000 (đồng)
Vậy số tiền Minh cần phải trả để mua chiếc áo sau khi đã giảm giá là: 300000 - 60000 = 240000 (đồng)
Đáp số: 240000 đồng
Bài 4:
Số học sinh lớp 6A là: 18:$\frac{3}{7}$ = 42 (học sinh)
Đáp số: 42 học sinh
Bài 5:
Số phần quãng đường mà An đã đi được sau 10 phút là: 
$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$ (quãng đường)
Quãng đường An đi được sau 10 phút là: $\frac{5}{6}.3 =\frac{5}{2}=2,5$ (km)
An còn cách trường: 3 -2,5 = 0,5 (km)  
Bài 6:



a) Tia OA và tia OB nằm cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và $\widehat{xOA} < \widehat{xOB} (40^o < 110^o)$ do đó tia OA nằm giữa tia Ox và tia OB.

b) Do tia OA nằm giữa tia OB và tia Ox nên ta có:

$\widehat{xOA} + \widehat{AOB} = \widehat{xOB}$

$\iff  \widehat{AOB} = \widehat{xOB} - \widehat{xOA} $

$\iff  \widehat{AOB} = 110^o - 40^o $

$\iff  \widehat{AOB} = 70^o$

c) Vì OM là tia phân giác của $\widehat{xOB}$ nên ta có:

$ \widehat{AOM} =\frac{1}{2}\widehat{xOA}$

$\iff \widehat{AOM} = \frac{1}{2} 40^o$

$\iff \widehat{AOM} = 20^o$

d) Vì tia Oy là tia đối của tia Ox nên $\widehat{yOB}$ và $\widehat{xOB}$ bù nhau. Hay:

$\widehat{yOB}+ \widehat{xOB} = 180^o$

$\iff \widehat{yOB} = 180^o - \widehat{xOB}$

$\iff \widehat{yOB} = 180^o - 110^o$

$\iff \widehat{yOB} = 70^o$

Do $\widehat{yOB} = \widehat{AOB} = 70^o$ nên tia OB là tia phân giác của $\widehat{yOA}$. 

Bài 7:

A =$\frac{2^2}{5.9}+\frac{2^2}{9.13}+\frac{2^2}{13.17}+\frac{2^2}{17.21}+\frac{2^2}{21.25}$

=$(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})+\cdots+(\frac{1}{21}-\frac{1}{25})$

=$\frac{1}{5}-\frac{1}{25}$

=$\frac{5}{25}-\frac{1}{25}$

=$\frac{4}{25}$

Vậy $A=\frac{4}{25}$

04/05/2021

Question 3-SASMO 2014-Grade 6

Question 3:
 
Find the smallest whole number between 1 and 100 that is divisible by 12 and by 30.
Bài giải:
Số nguyên nhỏ nhất nằm trong khoảng từ 1 đến 100 chia hết cho 12 và 30 chính là bội số chung nhở nhất của 12 và 30 = BCNN(12,30) = 60. 
Đáp số: 60.

Question 2-SASMO 2014-Grade 6

Question 2:
 
If n is a whole number, for what values of n is $\frac{36}{n}$ also a whole number?
 
Bài giải:
$\frac{36}{n}$ là số nguyên khi và chỉ khi n là ước số của 36:
 36    =     1 x 36 
         =     2 x 18 
         =     3 x 12
         =     4 x 9
         =     6 x 6 
Do đó $\frac{36}{n}$ là số nguyên khi n = 1,2,3,4,6,9,12,18,16
Đáp số: n = 1,2,3,4,6,9,12,18,16
Lưu ý: Trong bài này có khái niệm "whole number". "Whole number" là tập các số nguyên 0,1,2,3,4, ..
Vậy Whole number = Natural number (Số tự nhiên)  và số 0 hay Positive integer (Số nguyên dương) và số 0

Question 1-SASMO 2014-Grade 6

Chuẩn bị hè rồi đó các bạn học sinh thân mến. Hè là dịp chúng ta vui chơi là chính và cũng là cơ hội để làm giàu thêm bộ sưu tập thành tích nha. Huy chương vàng SASMO là một trong những huy chương rất đáng để sưu tập cho các bạn yêu toán. Mình sẽ lần lượt giải những bài thi SASMO lớp 6 nha. Tại sao là lớp 6? Vì con trai mình học lớp 6. Chúc các bạn mùa hè vui vẻ, rèn luyện tích cực và đạt giải cao nha.
Question 1:
A clock takes 3 seconds to make 4 chimes. Assuming that the rate of chiming is constant, and the duration of each chime is negligible, how long does the clock take to make 8 chimes?
Bài giải: 
Thời gian giữa hai lần rung chuông của chiếc đồng hồ là: 3 : ( 4 - 1 ) = 1 (giây)
Thời gian để đồng hồ rung chuông 8 lần là: 1 x (8 - 1) = 7 (giây). 
Đáp số: 7 giây. 
Lưu ý: 
Trong bài này có hai từ vựng:
  • chime /tʃaim/ (n) chuông hoà âm.
  • negligible /'neglidʤəbl/ (a) không đáng kể.
Câu "the duration of each chime is negligible": Khi đổ chuông thì mỗi hồi chuông mất một ít thời gian. Tuy nhiên trong đề này chúng ta bỏ qua khoảng thời gian này vì đề cho rằng nó không đáng kể.

24/04/2021

Toán 6-Bài 6-Kiểm tra giữa học kỳ 2-THCS Ngô Quyền

 Đề bài:

Chứng tỏ rằng:

$\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{14^2} < \frac{1}{7}$


Bài giải:

Ta có:

$\frac{1}{6^2} < \frac{1}{5.6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{7^2} < \frac{1}{6.7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$

$\frac{1}{8^2} < \frac{1}{7.8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}$

$\cdots$

$\frac{1}{13^2} < \frac{1}{12.13} = \frac{1}{12} - \frac{1}{13}$

$\frac{1}{14^2} < \frac{1}{13.14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, lưu ý các cặp phân số bằng nhau có dấu ngược nhau sẽ triệt tiêu nhau. Ta có: 

$\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{14^2}$

$ <  \frac{1}{5} -  \frac{1}{14} = \frac{9}{10}.\frac{1}{7} < \frac{1}{7}$ (đpcm)

21/04/2021

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 5

 Đề bài:

Cô giáo chia một gói kẹo cho một số học sinh. Nếu cô chia cho mỗi học sinh 4 viên kẹo thì cô sẽ còn 2 viên. Nếu cô chia cho mỗi học sinh 6 viên thì cô sẽ thiếu 12 viên. Hỏi gói kẹo có bao nhiêu viên và có bao nhiêu học sinh được cô giáo chia kẹo?

Bài giải:

Gọi  x là số học sinh được cô giáo chia kẹo.

Vậy ta có: 

4x + 2 = 6x -12 

$\iff $ 2x = 14

$\iff $ x = 7

Vậy có 7 học sinh được cô giáo chia kẹo và gói kẹo có 4.7 + 2 = 30 viên kẹo.

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 4

 Đề bài:

Phải chọn ít nhất bao nhiêu số từ 2,4,6, ..,68, 70 để có ít nhất một cặp số có tổng bằng 80.

Bài giải:

Trong các số chẵn 2,4,6,..,68, 70 có 15 cặp số có tổng bằng 80 là 10 & 70, 12 & 68, ..., 38 & 38. Gọi tập các số này là A.

Có 5 số không thể kết hợp với số khác để ra cặp số có tổng bằng 80 là B={2,4,6,8,40}.

Trường hợp xấu nhất là chọn 15 số ở tập A (mỗi cặp chọn 1 số)  và 5 số ở tập B. Có 15 + 5 = 20 số.

Vậy cần chọn tối thiểu 20 + 1 = 21 số để chắc chắn có thể chọn được 2 số có tổng bằng 80.

Đáp số: Ít nhất 21 số. 


20/04/2021

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 3

 Đề bài:

Cho tam giác ABC có góc B nhọn và $\widehat{B}=2\widehat{C}$. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BH . Chứng minh:

a) Đường thẳng KH đi qua trung điểm của cạnh AC.

b) BC - AB = 2BH

Bài giải:



a) Chứng minh KH đi qua trung điểm AC: 
Gọi M là giao điểm KH và AC.
Ta cần chứng minh AM = MC.
Ta có tam giác BKH là tam giác cân tại B do BH = BK
Suy ra $\widehat{BKH}=\widehat{BHK}$
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BHK} + \widehat{BKH}$ (góc ngoài)
$\Rightarrow \widehat{ABC}=2 \widehat{BHK}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=2 \widehat{MHC}$
$\Rightarrow \widehat{MHC}= \widehat{MCH}$
$\Rightarrow \triangle HMC$ cân tại M.
$\Rightarrow MH = MC$ (1)
Hơn nữa:
$\widehat{AHG} + \widehat{GHC} = 90^0$  (Do AH ⊥ BC)
$\Rightarrow \widehat{AHG} + \widehat{MCH} = 90^0$
Mà: 
$\widehat{HAG} + \widehat{MCH} = 90^0$
Nên:
$\widehat{HAG} = \widehat{AHG}$
$\Rightarrow \triangle HMA$ cân tại M.
$\Rightarrow MH = MA$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MA = MC.
Vậy: KH đi qua trung điểm M của AC.
b) Chứng minh BC - AB = 2BH
Gọi D là giao điểm của KH với đường thẳng đi qua A và song song với BC.
Do AD //BC nên ta có:
$\Rightarrow \widehat{ADH}= \widehat{AHD}$
$\Rightarrow \widehat{ADK}= \widehat{AKD}$
$\Rightarrow \triangle KAD $ cân tại A.
$\Rightarrow AK = AD$
$\Rightarrow AK = HC$
$\Rightarrow AB + BK = HC$
$\Rightarrow AB = HC - BK$
$\Rightarrow AB = HC - BH$
Vậy
BC - AB = BH + HC - (HC -BH) = 2BH (đpcm)