Đề:
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:
$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$
Bài giải:
$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$
$\Leftrightarrow (5^2)^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)-[(4^x+1)+(4x^2+3x+3)]5^y=0$
$\Leftrightarrow [(5^y)^2-(4^x+1)5^y]+[(4^x+1)(4x^2+3x+3)-(4x^2+3x+3)5^y]=0$
$\Leftrightarrow 5^y[5^y-(4^x+1)]+(4x^2+3x+3)[(4^x+1)-5^y]=0$
$\Leftrightarrow [5^y-(4^x+1)][5^y-(4x^2+3x+3)]=0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} 5^y-(4^x+1)=0 (1)\\ 5^y-(4x^2+3x+3)=0 (2) \end{aligned}\right.$
- Xét phương trình (1): $(1) \Leftrightarrow 5^y = 4^x+1 (3)$
Ta có: $4 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 4^x \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 4^x+1 \equiv 2 \pmod 3$
Suy ra y phải là số lẻ (vì nếu y là số chẵn thì $5^y \equiv 1 \pmod 3$)
Đặt $y=2k+1, k=0,1,2,...$, thay vào (3), ta có:
$5^{2k+1} = 4^x+1 \Leftrightarrow 5.25^k= 4^x+1$
Vì $25 \equiv 1 \pmod 8 \Rightarrow 5.25^k \equiv 5 \pmod 8$
Nếu $x \ge 2 \Rightarrow 4^x + 1 = 16.4^{x-2} + 1 \equiv 1 \pmod 8$ (vô lý)
Vậy $x=1 \Rightarrow y=1$ - Xét phương trình (2):$(2) \Leftrightarrow 5^y = 4x^2+3x+3 (4)$
Do $4x^2+3x+3 = x^2 + 3x^2+3x+3 \equiv x^2 \pmod 3 \Rightarrow 5^y \equiv x^2 \pmod 3$
Mà số chính phương thì chia cho 3 dư 0 hoặc 1 suy ra y phải là số chẵn. Đặt $y=2k$
$(4) \Leftrightarrow 5^{2k}= 4x^2+3x+3$
$\Leftrightarrow (5^k)^2 = 4x^2+3x+3 $
$\Rightarrow 4x^2+3x+3$ là số chính phương
Mà $(2x)^2 < 4x^2+3x+3 < 4x^2+3x+3 + 5x+1 $
$= (2x)^2+2.2x.2+2^2 = (2x+2)^2$
Suy ra: $4x^2+3x+3 = (2x+1)^2$
$\Leftrightarrow4x^2+3x+3=4x^2+4x+1$
$\Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=2$