Đề: Cho $\triangle{DEF}$ nhọn, ba đường cao DM, EN, FP cắt nhau tại I.
a) Chứng minh $\triangle{DEN} \sim \triangle{DFP}$
b) Chứng minh $EI.MF = MI.FD$
c) Cho PE = 7cm, PD = 18cm, PF=24cm. Tính PN
Giải:
Live, Learn, Work And Share
Đề: Cho $\triangle{DEF}$ nhọn, ba đường cao DM, EN, FP cắt nhau tại I.
a) Chứng minh $\triangle{DEN} \sim \triangle{DFP}$
b) Chứng minh $EI.MF = MI.FD$
c) Cho PE = 7cm, PD = 18cm, PF=24cm. Tính PN
Giải:
Đề:
Cho
a) Chứng minh $\triangle{AEC} \sim \triangle{BFC}$
b) Chứng minh $\widehat{BAC} = \widehat{FEC}$
c) Gọi M là trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng a, b cắt AH và AB lần lượt tại N và D. Chứng minh: $NC=ND$
Bài giải:
Đề:
Cho $\triangle{ABC}$ nhọn (AB < AC) có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H
a) Chứng minh $\triangle{HAE} \sim \triangle{HBD}$
b) Kẻ $EK \perp BC$ tại K. Chứng minh $KE^2 = KB.KC$
c) Gọi M là trung điểm của AB. Kẻ $DI \perp AC$ tại I. Gọi N là giao điểm của IK và MC. Chứng minh: N là trung điểm của IK
Bài giải:
Đề:
Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A (AB < AC) có đường cao AE
a) Chứng minh: $\triangle{ABC} \sim \triangle{EAC}$ và $AE^2=BE.EC$
b) Trên tia đối BA lấy điểm O sao cho $BA = BO$. Kẻ $AD \perp OC$ tại D. Chứng minh $\widehat{EAD} = \widehat{BCO}$
c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt BC tại S. Chứng minh S là trung điểm của EC
Bài giải:
Đề:
Cho $\triangle{ABC}$ nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H
a) Chứng minh: $\triangle{HEA}$ đồng dạng $\triangle{HDB}$
b) Chứng minh:$CA.CE=CB.CD$ và $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$
c) Gọi G là giao điểm của KE và BC, S là trung điểm BC. Chứng minh:$DS.DG=DB.DC$
Bài giải:
Đề bài:
Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Vẽ BD là đường phân giác trong của $\triangle{ABC}$, BD cắt AH tại I.
a) Chứng minh: $\triangle{ABC}$ đồng dạng $\triangle{HBA}$
b) Cho HB = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH và chứng minh: $BI.BA = BH.BD$
c) Trên tia đối AH lấy điểm M, vẽ tia $Cx \perp MB$ tại K. Lấy E trên tia Cx sao cho $BE=BA$. Chứng minh: $\triangle{BEM}$ vuông
Bài giải:
Đề bài:
Với các số thực không âm x và y thoả mãn $x^2+y^2=4$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$
Bài giải:
Ta có:
$4=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \le (x+y)^2$
$\Rightarrow x+y \ge 2$
$\Rightarrow P = x+2y \ge 2+y \ge 2$
$\Rightarrow Min(P) =2$
Dấu "=" xảy ra khi $-2xy = 0 \land y =0 \Rightarrow y =0 \Rightarrow x=2$
Vậy $Min(P)=2$ khi $x=2 \land y=0$
Ta cũng có thể tìm $Max(P)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxski cho hai bộ số (1,2) và (x,y) ta có:
$(1.x+2.y)^2 \le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5.4=20$
$\Rightarrow P =x+2y \le 2\sqrt{5}$
Vậy $Max(P)=2\sqrt{5}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{x}=\frac{2}{y} \iff y=2x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
Đề:
a) Tia OA và tia OB nằm cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và $\widehat{xOA} < \widehat{xOB} (40^o < 110^o)$ do đó tia OA nằm giữa tia Ox và tia OB.
b) Do tia OA nằm giữa tia OB và tia Ox nên ta có:
$\widehat{xOA} + \widehat{AOB} = \widehat{xOB}$
$\iff \widehat{AOB} = \widehat{xOB} - \widehat{xOA} $
$\iff \widehat{AOB} = 110^o - 40^o $
$\iff \widehat{AOB} = 70^o$
c) Vì OM là tia phân giác của $\widehat{xOB}$ nên ta có:
$ \widehat{AOM} =\frac{1}{2}\widehat{xOA}$
$\iff \widehat{AOM} = \frac{1}{2} 40^o$
$\iff \widehat{AOM} = 20^o$
d) Vì tia Oy là tia đối của tia Ox nên $\widehat{yOB}$ và $\widehat{xOB}$ bù nhau. Hay:
$\widehat{yOB}+ \widehat{xOB} = 180^o$
$\iff \widehat{yOB} = 180^o - \widehat{xOB}$
$\iff \widehat{yOB} = 180^o - 110^o$
$\iff \widehat{yOB} = 70^o$
Do $\widehat{yOB} = \widehat{AOB} = 70^o$ nên tia OB là tia phân giác của $\widehat{yOA}$.
Bài 7:
A =$\frac{2^2}{5.9}+\frac{2^2}{9.13}+\frac{2^2}{13.17}+\frac{2^2}{17.21}+\frac{2^2}{21.25}$
=$(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})+\cdots+(\frac{1}{21}-\frac{1}{25})$
=$\frac{1}{5}-\frac{1}{25}$
=$\frac{5}{25}-\frac{1}{25}$
=$\frac{4}{25}$
Vậy $A=\frac{4}{25}$
Đề bài:
Chứng tỏ rằng:
$\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{14^2} < \frac{1}{7}$
Ta có:
$\frac{1}{6^2} < \frac{1}{5.6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$
$\frac{1}{7^2} < \frac{1}{6.7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$
$\frac{1}{8^2} < \frac{1}{7.8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}$
$\cdots$
$\frac{1}{13^2} < \frac{1}{12.13} = \frac{1}{12} - \frac{1}{13}$
$\frac{1}{14^2} < \frac{1}{13.14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, lưu ý các cặp phân số bằng nhau có dấu ngược nhau sẽ triệt tiêu nhau. Ta có:
$\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{14^2}$
$ < \frac{1}{5} - \frac{1}{14} = \frac{9}{10}.\frac{1}{7} < \frac{1}{7}$ (đpcm)
Đề bài:
Cô giáo chia một gói kẹo cho một số học sinh. Nếu cô chia cho mỗi học sinh 4 viên kẹo thì cô sẽ còn 2 viên. Nếu cô chia cho mỗi học sinh 6 viên thì cô sẽ thiếu 12 viên. Hỏi gói kẹo có bao nhiêu viên và có bao nhiêu học sinh được cô giáo chia kẹo?
Bài giải:
Gọi x là số học sinh được cô giáo chia kẹo.
Vậy ta có:
4x + 2 = 6x -12
$\iff $ 2x = 14
$\iff $ x = 7
Vậy có 7 học sinh được cô giáo chia kẹo và gói kẹo có 4.7 + 2 = 30 viên kẹo.
Đề bài:
Phải chọn ít nhất bao nhiêu số từ 2,4,6, ..,68, 70 để có ít nhất một cặp số có tổng bằng 80.
Bài giải:
Trong các số chẵn 2,4,6,..,68, 70 có 15 cặp số có tổng bằng 80 là 10 & 70, 12 & 68, ..., 38 & 38. Gọi tập các số này là A.
Có 5 số không thể kết hợp với số khác để ra cặp số có tổng bằng 80 là B={2,4,6,8,40}.
Trường hợp xấu nhất là chọn 15 số ở tập A (mỗi cặp chọn 1 số) và 5 số ở tập B. Có 15 + 5 = 20 số.
Vậy cần chọn tối thiểu 20 + 1 = 21 số để chắc chắn có thể chọn được 2 số có tổng bằng 80.
Đáp số: Ít nhất 21 số.
Đề bài:
Cho tam giác ABC có góc B nhọn và $\widehat{B}=2\widehat{C}$. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BH . Chứng minh:
a) Đường thẳng KH đi qua trung điểm của cạnh AC.
b) BC - AB = 2BH
Bài giải: