(C2.00007).Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

 Đề:

Cho a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$;$a+b+c=23$;$\sqrt{abc}=3$

Tính giá trị biểu thức $H=\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$

Bài làm:

Ta đánh số các biểu thức đã cho để dễ tham khảo khi cần:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$ (1)

$a+b+c=23$ (2)

$\sqrt{abc}=3$ (3)

Ta đi bình phương hai vế của (1), thu được:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=7^2$ 

$\Leftrightarrow a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 49$

$\Leftrightarrow 23+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 49$ (áp dụng đẳng thức (2))

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 26$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} = 13$ (4)

Ta có: $\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6 = \sqrt{ab}+(7-\sqrt{a}-\sqrt{b})-6 $ (Áp dụng (1))

$=\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1$

$=(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)$

Biến đổi tương tự ta có:

$\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6 = (\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)$

$\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6 = (\sqrt{c}-1)(\sqrt{a}-1)$

Vậy: $H=\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$

$=\frac{1}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)}+\frac{1}{(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}+\frac{1}{(\sqrt{c}-1)(\sqrt{a}-1)}$

$=\frac{(\sqrt{a}-1)+(\sqrt{b}-1)+(\sqrt{c}-1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$

$=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$

$=\frac{7-3}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$ (Áp dụng (1))

$=\frac{4}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$ 

Mà: $(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1) = (\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}-1)$

$=\sqrt{abc}-\sqrt{ac}-\sqrt{bc}+\sqrt{c}-\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}-1$ 

$=3-(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) + (\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c})-1$(Áp dụng (3))

$=2-13+7$ (Áp dụng (4) và (1))

$=-4$

Vậy $H=\frac{4}{-4}=-1$

Bài viết liên quan