Đề bài:
Với các số thực không âm x và y thoả mãn $x^2+y^2=4$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$
Bài giải:
Ta có:
$4=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \le (x+y)^2$
$\Rightarrow x+y \ge 2$
$\Rightarrow P = x+2y \ge 2+y \ge 2$
$\Rightarrow Min(P) =2$
Dấu "=" xảy ra khi $-2xy = 0 \land y =0 \Rightarrow y =0 \Rightarrow x=2$
Vậy $Min(P)=2$ khi $x=2 \land y=0$
Ta cũng có thể tìm $Max(P)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxski cho hai bộ số (1,2) và (x,y) ta có:
$(1.x+2.y)^2 \le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5.4=20$
$\Rightarrow P =x+2y \le 2\sqrt{5}$
Vậy $Max(P)=2\sqrt{5}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{x}=\frac{2}{y} \iff y=2x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$