Đề:
Cho n,m là các số tự nhiên và $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5.
Bài giải:
Đầu tiên ta đi tìm số dư của số tự nhiên a cho 5.
Ta có $a \equiv k \pmod 5$ với k là số tự nhiên thỏa $0\le k \le 4$
Suy ra $a^4 \equiv k^4 \pmod 5$
| k | $k^4$ | $k^4\ \text{mod}\ 5$ |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 16 | 1 |
| 3 | 81 | 1 |
| 4 | 256 | 1 |
Vậy $a^4 \equiv 0 \pmod 5$ nếu a chia hết cho 5 và $a^4 \equiv 1 \pmod 5$ nếu a không chia hết cho 5.
Kết hợp giả thiết $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Ta suy ra cả n và m phải chia hết cho 5.
Từ đó ta suy ra $n^{2025}+m^{2025}$ chia hết cho 5. Hay nói cách khác số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5 là 0.
Kết hợp giả thiết $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Ta suy ra cả n và m phải chia hết cho 5.
Từ đó ta suy ra $n^{2025}+m^{2025}$ chia hết cho 5. Hay nói cách khác số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5 là 0.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét