Đề:
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(\alpha,\beta)$ sao cho $\alpha^2+6\alpha\beta+\beta^2+45$ là một số chính phương
Bài giải:
Do $\alpha$ và $\beta$ là số nguyên tố nên nếu $\alpha > 3$ và $\beta > 3$ thì
$\alpha^2 \equiv 1 \pmod 3$ và $\beta ^2 \equiv 1 \pmod 3$
$\Rightarrow \alpha^2+6\alpha\beta+\beta^2+45 \equiv 2 \pmod 3$ vô lý vì số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Do đó $\alpha$ và $\beta$ phải có 1 số nhỏ hơn hay bằng 3. Do vai trò như nhau ta giả sử số đó là $\alpha$
☼ Xét $\alpha = 2 $ biểu thức đã cho thành $\beta^2+12\beta+49$. Mà:
$\beta^2+12\beta+36<\beta^2+12\beta+49 < \beta^2+14\beta+49$
$\Rightarrow (\beta+6)^2 <\beta^2+12\beta+49< (\beta+7)^2$
Do đó không tồn tại $\beta$ để $\beta^2+12\beta+49$ là số chính phương
☼ Xét $\alpha = 3 $ biểu thức đã cho thành $\beta^2+18\beta+54$. Mà:
$\beta^2+14\beta +49 <\beta^2+18\beta+54 < \beta^2+18\beta+81$
$\Rightarrow (\beta+7)^2 < \beta^2+18\beta+54 <(\beta+9)^2$
Mà $\beta^2+18\beta+54$ là số chính phương nên:
$\beta^2+18\beta+54 = (\beta+8)^2$
$\Leftrightarrow \beta=5$
Vậy có hai cặp số nguyên tố $(\alpha,\beta)$ thỏa mãn đề bài là $(3,5);(5;3)$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét