FOLAMI BLOG: Bài 3, câu 2, Chuyên Toán, Thi tuyển lớp 10 Bình Định năm 2025

Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(α, β)$ sao cho $α^{2} + 6 α β + β^{2} + 45$ là một số chính phương

Bài giải:
Do $α$ và $β$ là số nguyên tố nên nếu $α > 3$ và $β > 3$ thì

$α^{2} \equiv 1 (\mod 3)$ và $β^{2} \equiv 1 (\mod 3)$

$\Rightarrow α^{2} + 6 α β + β^{2} + 45 \equiv 2 (\mod 3)$ vô lý vì số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Do đó $α$ và $β$ phải có 1 số nhỏ hơn hay bằng 3. Do vai trò như nhau ta giả sử số đó là $α$

☼ Xét $α = 2$ biểu thức đã cho thành $β^{2} + 12 β + 49$ . Mà:
$β^{2} + 12 β + 36 < β^{2} + 12 β + 49 < β^{2} + 14 β + 49$

$\Rightarrow (β + 6)^{2} < β^{2} + 12 β + 49 < (β + 7)^{2}$
Do đó không tồn tại $β$ để $β^{2} + 12 β + 49$ là số chính phương

☼ Xét $α = 3$ biểu thức đã cho thành $β^{2} + 18 β + 54$ . Mà:
$β^{2} + 14 β + 49 < β^{2} + 18 β + 54 < β^{2} + 18 β + 81$

$\Rightarrow (β + 7)^{2} < β^{2} + 18 β + 54 < (β + 9)^{2}$

Mà $β^{2} + 18 β + 54$ là số chính phương nên:
$β^{2} + 18 β + 54 = (β + 8)^{2}$
$\Leftrightarrow β = 5$
Vậy có hai cặp số nguyên tố $(α, β)$ thỏa mãn đề bài là $(3, 5); (5; 3)$

Bài viết liên quan

Maths

2025

Tuyển sinh lớp 10 chuyên

Trang

FOLAMI BLOG

07/06/2025

Bài 3, câu 2, Chuyên Toán, Thi tuyển lớp 10 Bình Định năm 2025

Bài viết liên quan

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Bài đọc nhiều nhất

Chủ đề

My links

Blog archive

Blog list

Visitors

Total Pageviews

Liên hệ