Đề:
Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn $(a+1)(b+1)(c+1)=3abc$
Bài giải:
Do vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử $a \ge b \ge c$, điều này có nghĩa là nếu ta tìm ra đáp số $(a_0;b_0;c_0)$ thì tất cả các hoán vị của bộ này : $(a_0;c_0;b_0),(b_0;a_0;c_0),(b_0;c_0;a_0),(c_0;a_0;b_0),(c_0;b_0;a_0)$ cũng thỏa mãn đẳng thức đã cho.
Ta có:
$(a+1)(b+1)(c+1)=3abc$
$\Leftrightarrow \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=3$
$\Leftrightarrow (\frac{a+1}{a})(\frac{b+1}{b})(\frac{c+1}{c})=3$
$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=3 (1) $
Từ $a \ge b \ge c$
$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b} \le \frac{1}{c}$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b} \le 1+\frac{1}{c}$
$\Rightarrow 3=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \le (1+\frac{1}{c})^3$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{c} \ge \sqrt[3]{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{c} \ge \sqrt[3]{3} -1 $
$\Rightarrow c \le \frac{1}{\sqrt[3]{3} -1} < 2.3 $
Do c là số nguyên dương nên $c=1$ hoặc $c=2$
+ Xét c=1
Thay c =1 vào (1) ta có:
$ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{1})=3 $
$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})2=3 $
$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=\frac{3}{2} $
Từ $a \ge b $
$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b}$
$\Rightarrow \frac{3}{2}=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \le (1+\frac{1}{b})^2$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{b} \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt{\frac{3}{2}} -1 $
$\Rightarrow b \le \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}} -1} < 4.5 $
Do b là số nguyên dương nên b=1,2,3,4
* b = 1, thay c=1,b=1 vào biểu thức ban đầu ta có:
$(a+1)(1+1)(1+1)=3a.1.1$
$\Rightarrow 4(a+1)=3a$
$\Rightarrow a=-4$ (loại khả năng này vì a nguyên dương)
* b = 2, thay c=1, b=2 vào biểu thức ban đầu ta có:
$(a+1)(2+1)(1+1)=3a.2.1$
$\Rightarrow 6(a+1)=6a$
$\Rightarrow 6=0$ (vô lý, loại khả năng này)
* b = 3, thay c=1, b=3 vào biểu thức ban đầu ta có:
$(a+1)(3+1)(1+1)=3a.3.1$
$\Rightarrow 8(a+1)=9a$
$\Rightarrow a=8 $ (thỏa điều kiện)
* b = 4, thay c=1, b=4 vào biểu thức ban đầu ta có:
$(a+1)(4+1)(1+1)=3a.4.1$
$\Rightarrow 10(a+1)=12a$
$\Rightarrow 2a=10$
$\Rightarrow a=5$ (thỏa điều kiện)
Vậy với c=1, ta thu được hai bộ số $(8;3;1),(5;4;1)$ thỏa mãn đẳng thức đã cho
+ Xét c = 2
Thay c =2 vào (1) ta có:
$ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{2})=3 $
$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\frac{3}{2}=3 $
$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=2 $
Từ $a \ge b $
$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b}$
$\Rightarrow 2 =(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \le (1+\frac{1}{b})^2$
$\Rightarrow 1+\frac{1}{b} \ge \sqrt{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt{2} -1 $
$\Rightarrow b \le \frac{1}{\sqrt{2} -1} < 2.5 $
Do b là số nguyên dương lớn hơn hay bằng c nên b chỉ có thể là 2
Thay b=2, c=2 vào biểu thức đã cho ta có:
$(a+1)(2+1)(2+1)=3a.2.2$
$\Leftrightarrow 9(a+1)=12a$
$\Leftrightarrow 3a=9$
$\Leftrightarrow a=3$ (thỏa điều kiện)
Vậy trường hợp c=2 ta thu được 1 bộ số $(3;2;2)$ thỏa đẳng thức đã cho
Đáp số:
Các số (a;b;c) cần tìm là $(8;3;1),(5;4;1),(3;2;2)$ và các hoán vị của chúng.
