Đề:
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $(x^2+3)y^2-y^3+2x^2=2y(2x^2-1)+3$
Bài giải:
$(x^2+3)y^2-y^3+2x^2=2y(2x^2-1)+3$
$\Leftrightarrow x^2y^2+3y^2-y^3+2x^2=4yx^2-2y+3$
$\Leftrightarrow x^2y^2-4yx^2+2x^2=y^3-3y^2-2y+3$
$\Leftrightarrow (y^2-4y+2)x^2=y^3-3y^2-2y+3 (1)$
Vì $y^2-4y+2 \ne 0 \forall y \in Z$ (hai nghiệm là số vô tỉ)
Nên $(1) \Leftrightarrow x^2 = \frac{y^3-3y^2-2y+3}{y^2-4y+2}$
$\Leftrightarrow x^2 = y+1 + \frac{1}{y^2-4y+2} (2)$
Vì $ x^2 \in Z \Rightarrow 1 \vdots y^2-4y+2 \Rightarrow y^2-4y+2 = 1 \lor y^2-4y+2 = -1$
* Xét $y^2-4y+2 = 1$
$\Leftrightarrow y^2-4y+1 = 0$
Giải phương trình bậc 2 này ta có hai nghiệm y: $2-\sqrt{3}$ và $2+\sqrt{3}$ không phải là số nguyên
* Xét $y^2-4y+2 = -1$
$\Leftrightarrow y^2-4y+3 = 0$
Phương trình có 2 nghiệm $y=1$ và $y=3$
+ y = 1, thay vào (2) ta có $x^2=1+1-1$
$\Leftrightarrow x^2=1$
$\Leftrightarrow x=\pm1$
+ y =3, thay vào (2) ta có $x^2=3+1-1$
$x^2=3+1-1$
$\Leftrightarrow x^2=3$
$\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}$ (loại vì $x \in Z$)
Vậy các bộ số $(x;y)$ cần tìm là $(1;1), (-1;1)$
