(C2.00016) Toán HSG THCS Tính giá trị biểu thức

 Đề: (Trích Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm 2024-2025 dành cho Thí sinh chuyên Toán, Tin Tỉnh Thái Bình)
Cho x là một số dương thỏa mãn $\frac{x^3+1}{x}=18\sqrt{x}$

Tính giá trị biểu thức $A=\frac{x^2+1}{x}$

Bài giải:

Đặt $t=\sqrt{x}$, do $x>0$ nên $t>0$
Ta có: $\frac{x^3+1}{x}=18\sqrt{x}$
Nhân hai vế với $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 
Ta được:
$\frac{x^3+1}{x\sqrt{x}}=18$
Hay $\frac{(\sqrt{x})^6+1}{(\sqrt{x})^3}=18$
$(\sqrt{x})^3+\frac{1}{(\sqrt{x})^3}=18$

Hay $t^3+\frac{1}{t^3}=18$
Gọi $B=t+\frac{1}{t}$
Thế thì $B^3=t^3+3t^2.\frac{1}{t}+3t.\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^3}=(t^3+\frac{1}{t^3})+3(t+\frac{1}{t})$

hay $B^3=18+3B$
$B^3-3B-18=0$ (1)
Phương trình bậc 3 này có hệ số tự do là -18, ta tiến hành nhẩm nghiệm bằng các ước số của 18 là $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18$
Ta thu được 1 nghiệm $B=3$
Phân tích (1) thành nhân tử $(B-3)(B^2+3B+6)=0$
Phương trình bậc gai $B^2+3B+6=0$ vô nghiệm vì có $\Delta = -15 < 0$
Do đó (1) có nghiệm duy nhất là $B=3$
$A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{(\sqrt{x})^4+1}{(\sqrt{x})^2}$
$=(\sqrt{x})^2+\frac{1}{(\sqrt{x})^2}=t^2+\frac{1}{t^2}$
$=(t+\frac{1}{t})^2-2.t.\frac{1}{t}=B^2-2=3^2-2=7$
Vậy $A=7$

Bài viết liên quan