(C2.00015) Toán HSG THCS Phương trình nghiệm nguyên chứa giai thừa

 Đề:

Tìm các số tự nhiên x,y biết: $10!+11!+12!=x^2(y!)$

Bài giải:

Ta có: 

$10!+11!+12!=x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!+10!.11+10!.11.12=x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!(1+11+11.12) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!(12+11.12) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!.12(1+11) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!.12^2 =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 12^2 (10!) =x^2(y!)$ (1)

Ta suy ra $x=12; y=10$

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình.

+ Nếu $y < 10$:
(1) $\Leftrightarrow x^2=12^2(10.9....(y+1))$

$\Rightarrow  10.9....(y+1)$ là số chính phương 
Ta cho y chạy từ 0 đến 9 và không có số nào thỏa mãn 
+ Nếu $y > 10$:
(1) $\Leftrightarrow (11.12...y) x^2=12^2$
Ta thử y=11, y=12 thì không tìm được số tự nhiên x 
Với $y \ge 12$ 
$y \le \frac{12^2}{12.11} < 2$ (vô lí)
Vậy chỉ có $x=12;y=10$ thỏa mãn bài toán đã cho

Bài viết liên quan