Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 5

 Đề bài:

Cô giáo chia một gói kẹo cho một số học sinh. Nếu cô chia cho mỗi học sinh 4 viên kẹo thì cô sẽ còn 2 viên. Nếu cô chia cho mỗi học sinh 6 viên thì cô sẽ thiếu 12 viên. Hỏi gói kẹo có bao nhiêu viên và có bao nhiêu học sinh được cô giáo chia kẹo?

Bài giải:

Gọi  x là số học sinh được cô giáo chia kẹo.

Vậy ta có: 

4x + 2 = 6x -12 

$\iff $ 2x = 14

$\iff $ x = 7

Vậy có 7 học sinh được cô giáo chia kẹo và gói kẹo có 4.7 + 2 = 30 viên kẹo.

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 4

 Đề bài:

Phải chọn ít nhất bao nhiêu số từ 2,4,6, ..,68, 70 để có ít nhất một cặp số có tổng bằng 80.

Bài giải:

Trong các số chẵn 2,4,6,..,68, 70 có 15 cặp số có tổng bằng 80 là 10 & 70, 12 & 68, ..., 38 & 38. Gọi tập các số này là A.

Có 5 số không thể kết hợp với số khác để ra cặp số có tổng bằng 80 là B={2,4,6,8,40}.

Trường hợp xấu nhất là chọn 15 số ở tập A (mỗi cặp chọn 1 số)  và 5 số ở tập B. Có 15 + 5 = 20 số.

Vậy cần chọn tối thiểu 20 + 1 = 21 số để chắc chắn có thể chọn được 2 số có tổng bằng 80.

Đáp số: Ít nhất 21 số. 

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 3

 Đề bài:

Cho tam giác ABC có góc B nhọn và $\widehat{B}=2\widehat{C}$. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BH . Chứng minh:

a) Đường thẳng KH đi qua trung điểm của cạnh AC.

b) BC - AB = 2BH

Bài giải:

a) Chứng minh KH đi qua trung điểm AC: 

Gọi M là giao điểm KH và AC.

Ta cần chứng minh AM = MC.

Ta có tam giác BKH là tam giác cân tại B do BH = BK

Suy ra $\widehat{BKH}=\widehat{BHK}$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BHK} + \widehat{BKH}$ (góc ngoài)

$\Rightarrow \widehat{ABC}=2 \widehat{BHK}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=2 \widehat{MHC}$

$\Rightarrow \widehat{MHC}= \widehat{MCH}$

$\Rightarrow \triangle HMC$ cân tại M.

$\Rightarrow MH = MC$ (1)

Hơn nữa:

$\widehat{AHG} + \widehat{GHC} = 90^0$  (Do AH ⊥ BC)

$\Rightarrow \widehat{AHG} + \widehat{MCH} = 90^0$

Mà: 

$\widehat{HAG} + \widehat{MCH} = 90^0$

Nên:

$\widehat{HAG} = \widehat{AHG}$

$\Rightarrow \triangle HMA$ cân tại M.

$\Rightarrow MH = MA$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra MA = MC.

Vậy: KH đi qua trung điểm M của AC.

b) Chứng minh BC - AB = 2BH

Gọi D là giao điểm của KH với đường thẳng đi qua A và song song với BC.

Do AD //BC nên ta có:

$\Rightarrow \widehat{ADH}= \widehat{AHD}$

$\Rightarrow \widehat{ADK}= \widehat{AKD}$

$\Rightarrow \triangle KAD $ cân tại A.

$\Rightarrow AK = AD$

$\Rightarrow AK = HC$

$\Rightarrow AB + BK = HC$

$\Rightarrow AB = HC - BK$

$\Rightarrow AB = HC - BH$

Vậy

BC - AB = BH + HC - (HC -BH) = 2BH (đpcm)

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 2

Đề bài:

Ban đầu, tỉ số giữa bóng vàng và tổng số bóng còn lại trong túi là 5:7. Cho thêm 20 quả bóng vàng vào túi, tỉ số giữa bóng vàng và tổng số bóng còn lại trong túi là 5:3. Hỏi cuối cùng có bao nhiêu quả bóng trong túi. 

Bài giải: 

• Cách 1: Dùng số phần bằng nhau
  Ta nhận thấy 3 phần lúc sau tương ứng với 7 phần lúc đầu ( do số bóng còn lại không thay đổi)
  Do đó 5 phần lúc sau sẽ tương ứng với (5 x 7): 3 = $\frac{35}{3}$ lúc đầu.
  Vậy 20 quả bóng vàng thêm vào tương ứng với: $\frac{35}{3}$ - 5 = $\frac{20}{3}$ lúc đầu.
  Vậy mỗi phần lúc đầu tương ứng với: 20:$\frac{20}{3}$ = 3 (quả)
  Số bóng vàng lúc đầu là: 3 x 5 = 15 (quả)
  Số bóng còn lại lúc đầu là: 7 x 3 = 21 (quả)
  Tổng số bóng sau cùng là: 15 + 20 + 21 = 56 (quả)
  Đáp số: $\boxed{56 \text{ quả bóng}}$
• Cách 2: Đặt biến số
  Gọi x (quả) là số bóng vàng ban đầu. 
  Gọi y (quả) là số bóng còn lại trong túi ban đầu.
  Tỉ số giữa bóng vàng và bóng còn lại là 5:7
   $\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{7}$
   $\Rightarrow x = \frac{5}{7}y$
  Tỉ số giữa bóng vàng và tổng số bóng còn lại lúc sau là 5:3
   $\Rightarrow \frac{x+20}{y} = \frac{5}{3}$
   $\Rightarrow x+20= \frac{5}{3}y$
   $\Rightarrow \frac{5}{7}y+20 = \frac{5}{3}y$
   $\Rightarrow \frac{20}{21}y = 20$
   $\Rightarrow  y = 21$
   $\Rightarrow x = \frac{5}{7}21$=15 (quả)
  Vậy cuối cùng có: 15 + 20 + 21 = 56 quả bóng trong túi.
  Đáp số: $\boxed{56 \text{ quả bóng}}$

Toán 7-Olympic TPHCM Mở Rộng 2021-Bài 1

 Đề bài:

Cho dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=-\frac{2}{3}$

và a+2d = 690. Tìm a, b, c, d

Bài giải:

Ta có:

$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=-\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a = -\frac{2}{3}b\\ b = -\frac{2}{3}c \\  c = -\frac{2}{3}d\\\end{array} \right.$

$\Rightarrow a = (-\frac{2}{3})(-\frac{2}{3})(-\frac{2}{3}) d$

$\Rightarrow a =-\frac{8}{27}d$

Mà:

a + 2d = 690

$\Rightarrow -\frac{8}{27}d + 2d = 690$

$\Rightarrow \frac{46}{27}d = 690$

$\Rightarrow$ d = 405

$c = -\frac{2}{3}d =(-\frac{2}{3}) 405 = -270$

$b = -\frac{2}{3}c =(-\frac{2}{3})(-270) = 180$

$a = -\frac{2}{3}b = (-\frac{2}{3}) 180 = -120$

Đáp số: $\boxed{a = -120, b = 180, c = -270, d = 405}$