(C2.00017).Toán HSG THCS Giải hệ phương trình

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 8x^3y^3+1 = 9y^3\\2x^2y+x=3y^2\end{cases}$

Bài giải:

Ta đánh số các phương trình trong hệ như sau:

$\begin{cases} 8x^3y^3+1 = 9y^3(1)\\2x^2y+x=3y^2(2)\end{cases}$

$(1) \Leftrightarrow (2xy)^3+1=9x^3$

$\Leftrightarrow (2xy+1)[(2xy)^2-2xy+1]=9y^3$(3)

$(2)\Leftrightarrow x(2xy+1)=3y^2$ (4)
Nếu $x=0$ thì từ (2) suy ra $y=0$ nhưng $x=0;y=0$ không thỏa mãn (1), do đó

$x=0;y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Xét $ x \not=0$ và $y \not= 0$

$(4) \Leftrightarrow 2xy+1=\frac{3y^2}{x}$ (5)

Thay vào (3) ta có:
$\frac{3y^2}{x}[(2xy)^2-2xy+1]=9y^3$
$\Leftrightarrow (2xy)^2-2xy+1 =3xy$
$\Leftrightarrow 4(xy)^2-5xy+1 =0$

Phương trình bậc hai theo $xy$ có hai nghiệm: $xy=1$ và $xy=\frac{1}{4}$

1) Trường hợp 1: $xy=1$

Thay vào (5) ta có $2.1+1=\frac{3y^2}{x}$
$\Leftrightarrow  x=y^2$
Mà $xy=1$ hay $y^3=1\Leftrightarrow y = 1$

Từ $y=1$ ta tính được $x=y^2=1^2=1$

Ta thử lại $x=y=1$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho 
2) Trường hợp 2: $xy=\frac{1}{4}$

Thay vào (5) ta có $2.\frac{1}{4}+1=\frac{3y^2}{x}$
$\Leftrightarrow x=2y^2$
Mà $xy=\frac{1}{4}$ hay $y^3=\frac{1}{8}\Leftrightarrow y = \frac{1}{2}$

Từ $y=\frac{1}{2}$ ta tính được $x=2y^2=2.(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$
Ta thử lại $x=y=\frac{1}{2}$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho 
Vậy tập nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình đã cho là $\{(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),(1;1)\}$

Bài viết liên quan