Đề:
Tìm x,y nguyên dương và số nguyên tố p thỏa $x^5+x^4+1=p^y$
Bài giải:
Ta có: $x^5+x^4+1=p^y$
$(x^3-x+1)(x^2+x+1)=p^y$
$\Rightarrow x^3-x+1 = p^m \land x^2+x+1 = p^n $ (với $m+n=y$ và $m,n \ge 0$)
Nếu $x \ge 3$ thì ta có:
$x^3-x+1 =(x^3-1) - (x-2) = (x-1)(x^2+x+1)-(x-2) > x^2+x+1 $
$\Rightarrow p^m > p^n$ hay $m > n$ suy ra $p^m \ \vdots \ p^n \Rightarrow x^3-x+1\ \vdots\ x^2+x+1$
Mà: $x^3-x+1 = (x-1)(x^2+x+1)-(x-2) $
Suy ra $x-2 \ \vdots \ x^2+x+1$ (1)
Nhưng với $x \ge 3$ thì $0 < x-2 < x^2+x+1$ (2)
Từ (1) và (2) ta thấy điều vô lý. Vậy $x < 3$
Thay lần lượt x=1 và x=2 vào đẳng thức đã cho ta tìm dược hai bộ số (x,y,p) thỏa mãn đề bài là:
$(1,1,3);(2;2;7)$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét