Câu I 2) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề: 

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy)\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Đánh số các phương trinh trong hệ: 

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 (1) \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy) (2) \end{aligned}\right.$

Ta đi biến đổi phương trình (2) và sử dụng phương trình (1). Lưu ý hằng đẳng thức:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(2)\Leftrightarrow (x^3+y^3)+1+12(x+y)= (x^3+y^3)+7y^3+6xy(y+3-xy) (3)$

$ \text{VP PT (3)} = 8y^3+6xy[y+(x+y-xy)-xy]+x^3$

$=(2y)^3+6xy(2y+x)+x^3$

$=(2y)^3+3.(2y)^2.x+3.(2y).x^2+x^3=(2y+x)^3$

$ \text{VT PT (3)} = [(x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+[3(x+y)^2-3(x+y)^2]+$

$3(x+y)+9(x+y)+1=[(x+y)^3+3.(x+y)^2+3(x+y)+1]-$

$[3x^2y+3xy^2+3(x+y)^2-9(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3[xy(x+y)+(x+y)^2-3(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3(x+y)(xy+x+y-3)=(x+y+1)^3$

Vậy $(3)\Leftrightarrow (2y+x)^3=(x+y+1)^3$

$\Leftrightarrow 2y+x = x+y+1$

$\Leftrightarrow y = 1$

Thay vào (1) ta tìm được $x=1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1;1)$

Bài viết liên quan