FOLAMI BLOG: Câu 3a, Thi tuyển lớp 10 chuyên, Đại học khoa học năm học 2025-2026

Đề:

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y,z thỏa:

x^{2} - 9 y^{2} + 10 = 3^{z}

Bài giải:

x^{2} - 9 y^{2} + 10 = 3^{z}

\Leftrightarrow (x^{2} + 1) - 9 y^{2} + 9 = 3^{z}

Nếu

z \geq 1

thì

3^{z} ⋮ 3

và

- 9 y^{2} ⋮ 3 \land 9 ⋮ 3

Suy ra

x^{2} + 1 ⋮ 3

+ Xét

x = 3 k

(

k \in N

)

\Rightarrow x^{2} = 9 k^{2} \Rightarrow x^{2} + 1 = 9 k^{2} + 1

không chia hết cho 3

+ Xét

x = 3 k + 1

(

k \in N

)

\Rightarrow x^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 \Rightarrow x^{2} + 1 = 9 k^{2} + 6 k + 2 = 3 p - 1

không chia hết cho 3

+ Xét

x = 3 k - 1

(

k \in N

)

\Rightarrow x^{2} = 9 k^{2} - 6 k + 1 \Rightarrow x^{2} + 1 = 9 k^{2} - 6 k + 2 = 3 p - 1

không chia hết cho 3

Do đó không thể tồn tại x để

x^{2} + 1 ⋮ 3

Vậy

z = 0

Phương trình đã cho thành

x^{2} - 9 y^{2} + 10 = 3^{0}

\Leftrightarrow x^{2} - 9 y^{2} + 10 = 1

\Leftrightarrow x^{2} - 9 y^{2} + 9 = 0

Từ đây ta suy ra

x^{2} ⋮ 3

nên x có dạng

x = 3 k

9 k^{2} - 9 y^{2} + 9 = 0

\Leftrightarrow k^{2} - y^{2} + 1 = 0

\Leftrightarrow y^{2} - k^{2} = 1

\Leftrightarrow (y - k) (y + k) = 1

\Rightarrow y - k = 1 \land y + k = 1

\Rightarrow y = 1 \land k = 0

\Rightarrow y = 1 \land x = 0

Thử lại bộ (0;1;0) thấy thỏa mãn

Vậy x=0, y=1, z=0

2025

Maths

Tuyển sinh lớp 10 chuyên

Trang