Câu 2a, Thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, năm 2024-2025

 Đề:

Giải phương trình:

$4x^3+31x^2-27=12(x^2+x)\sqrt{1-x}$ 

Bài giải:

Điều kiện: $x \le 1$

$4x^3+31x^2-27=12(x^2+x)\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow (4x^3+4)+(31x^2-31)-12x(x+1)\sqrt{1-x}=0$

$\Leftrightarrow 4(x^3+1)+31(x^2-1)-12x(x+1)\sqrt{1-x}=0$

$\Leftrightarrow 4(x+1)(x^2-x+1)+31(x-1)(x+1)-12x(x+1)\sqrt{1-x}=0$

$\Leftrightarrow (x+1)[4(x^2-x+1)+31(x-1)-12x\sqrt{1-x}]=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x+1 = 0 (1)\\4(x^2-x+1)+31(x-1)-12x\sqrt{1-x} = 0(2)\end{aligned}\right.$

$(1) \Leftrightarrow x = -1$

$(2) \Leftrightarrow [4x^2-2.2x.3\sqrt{1-x}+9(1-x)]+[27(x-1)-9(1-x)]=0$

$\Leftrightarrow (2x-3\sqrt{1-x})^2-(6\sqrt{1-x})^2=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x-3\sqrt{1-x}+ 6\sqrt{1-x}= 0 \\2x-3\sqrt{1-x}- 6\sqrt{1-x} = 0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}2x+3\sqrt{1-x}= 0 (3) \\2x-9\sqrt{1-x}= 0 (4) \end{aligned}\right.$

$(3) \Leftrightarrow 2x = -3\sqrt{1-x} (5)$ 

Điều kiện $ x \le 0$ 

$(5) \Rightarrow 4x^2 = 9(1-x)$

$\Leftrightarrow 4x^2+9x-9=0$

Giải phương trình bậc hai ta có hai nghiệm $ x= -3 $ và $x=\frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện $ x \le 0$  ta nhận nghiệm $ x= -3 $

$(4) \Leftrightarrow 2x = 9\sqrt{1-x} (6)$ 

Điều kiện $ x \ge 0$ kết hợp điều kiện ban đầu ta có điều kiện cho x là $ 0 \le x \le 1$

$(6) \Rightarrow 4x^2 = 81(1-x)$

$\Leftrightarrow 4x^2+81x-81=0$

Giải phương trình bậc hai ta có hai nghiệm $x=-\frac{81}{8}-\frac{9\sqrt{97}}{8}$ và $x=-\frac{81}{8}+\frac{9\sqrt{97}}{8}$
Kiểm tra điều kiện  $ 0 \le x \le 1$ ta chỉ nhận nghiệm $x=-\frac{81}{8}+\frac{9\sqrt{97}}{8}$
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
$x_1=-1$; $x_2=-3$; $x_3=-\frac{81}{8}+\frac{9\sqrt{97}}{8}$

Bài viết liên quan