Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình 3 ẩn số

 Đề:

Giải hệ phương trình sau:

$\left \lbrace \begin{aligned}& x + y = z^2 \\& x = 2 (y+z) \\& xy = 2(z+1) \end{aligned}\right.$

Bài giải:

Ta nhận xét hệ phương trình không đối xứng nên sẽ dùng phương pháp thế. Biến z có bậc 2 trong khi x và y bậc 1 nên ta sẽ giữ lại biến z.

Thay $ x = 2 (y+z) $ vào phương trình thứ nhất ta có:

$ 2 (y+z) + y = z^2$

$ \Leftrightarrow 3y + 2z = z^2$

$ \Leftrightarrow y = \frac{z^2 - 2z}{3}$

Thay kết quả này vào phương trình thứ 2 để tính x theo z:

$ x = 2(\frac{z^2 - 2z}{3} + z) = 2\frac{z^2+z}{3}$

Thay kết quả tính x và y theo z vào phương trình thứ ba ta có:

$2\frac{z^2+z}{3}\frac{z^2 - 2z}{3}=2(z+1)$

$ \Leftrightarrow (z^2+z)(z^2-2z)=9(z+1)$

$ \Leftrightarrow z(z+1)(z^2-2z)=9(z+1)$ (1)

+ Xét $z=-1$. Ta tính được x=0, y=1 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+ Xét $z \not =-1$. (1) $ \Leftrightarrow z(z^2-2z)=9$

$\Leftrightarrow z^3-2z^2-9=0$

$\Leftrightarrow (z-3)(z^2+z+3)=0$ (2)

Vì $z^2+z+3 > 0$ $\forall z$

Nên (2) $ \Leftrightarrow  z-3 =0 \Leftrightarrow z = 3$

Từ z ta tính được x = 8, y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y;z) là {(0;1;-1), (8,1,3)}

Bài viết liên quan