Đề:
Cho các số nguyên a, b thỏa mãn $a^2+ab+4b^2$ chia hết cho 9. Chứng minh rằng $a+2b$ chia hết cho 3 và $a^2-ab+4b^2$ chia hết cho 9.
Bài giải:
Do $a^2+ab+4b^2$ chia hết cho 9 nên tồn tại số nguyên k sao cho:
$a^2+ab+4b^2=9k$
$\Leftrightarrow a^2+4ab+4b^2=9k+3ab$
$\Leftrightarrow (a+2b)^2=9k+3ab$
Vì $9k+3ab \ \vdots \ 3 \Rightarrow (a+2b)^2 \ \vdots \ 3$
Mà 3 là số nguyên tố nên ta có $a+2b \ \vdots \ 3$ (định lí Euclid)
Vì $a+2b \ \vdots \ 3 \Rightarrow (a+2b)^2 \ \vdots \ 9$
$\Rightarrow 9k+3ab \ \vdots \ 9 \Rightarrow 3ab \ \vdots \ 9$
$a^2-ab+4b^2=(a^2+2ab+4b^2) - 3ab=(a+2b)^2-3ab$
Mà $(a+2b)^2 \ \vdots \ 9$ và $3ab \ \vdots \ 9$ nên $a^2-ab+4b^2 \ \vdots \ 9$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét