(C2.00011). Toán HSG THCS: Chứng minh bất đẳng thức

 Đề:

Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 6.(\frac{1}{5(a+b)+8c}+\frac{1}{5(b+c)+8a}+\frac{1}{5(c+a)+8b})$

Bài giải:

Hướng đi của dạng bài này là đầu tiên ta cần phân tích: 
$5(a+b)+8c = x(2a+b)+y(2b+c)+z(2c+a)$
Bằng cách giải phương trình ta tìm ra $x=1,y=2,z=3$

Do đó nếu đặt $u=2a+b, v=2b+c, t=2c+a$ thì bất đẳng thức đã cho thành:

$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t}\ge6.(\frac{1}{u+2v+3t}+\frac{1}{v+2t+3u}+\frac{1}{t+2u+3v})$ (*)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng: $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge\frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2}$

Ta có: $\frac{1}{u}+\frac{2^2}{2v}+\frac{3^2}{3t} \ge \frac{(1+2+3)^2}{u+2v+3t}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u}+\frac{4}{2v}+\frac{9}{3t}\ge \frac{36}{u+2v+3t}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6}(\frac{1}{u}+\frac{2}{v}+\frac{3}{t}) \ge 6.\frac{1}{u+2v+3t}$ (1)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{1}{6}(\frac{3}{u}+\frac{1}{v}+\frac{2}{t}) \ge 6.\frac{1}{v+2t+3u}$ (2)

$ \frac{1}{6}(\frac{2}{u}+\frac{3}{v}+\frac{1}{t}) \ge 6.\frac{1}{t+2u+3v}$ (3)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (1),(2), (3) ta thu được (*)

Dấu "=" xảy ra ở (1) khi và chỉ khi $\frac{1}{u}=\frac{2}{2v}=\frac{3}{3t}$

hay $u=v=t$. Điều kiện này thì đẳng thức (2)và (3) cũng xảy ra.

Vậy dấu "=" ở (*) xảy ra khi và chỉ khi $u=v=t$ hay $a=b=c$

Một số đề tương tự:

1. Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 10.(\frac{1}{9a+5b+16c}+\frac{1}{9b+5c+16a}+\frac{1}{9c+5a+16b})$

2. Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 30.(\frac{1}{26a+11b+53c}+\frac{1}{26b+11c+53a}+\frac{1}{26c+11a+53b})$

Bài viết liên quan