(C2.00012).Toán HSG THCS Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019-2020

 Đề:

Cho các số thực x,y,a thỏa mãn:$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$

Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$

Bài giải:

Điều kiện: $a \ge 0$

Ta có:$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x^6}+\sqrt[3]{x^4}\sqrt[3]{y^2}}+\sqrt{\sqrt[3]{y^6}+\sqrt[3]{y^4}\sqrt[3]{x^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x^4}(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})}+\sqrt{\sqrt[3]{y^4}(\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2})}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}+\sqrt[3]{y^2}\sqrt{\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2}}=a$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3}=a$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3=a^2$  (vì $a\ge 0$)

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$ (đpcm)

Bài viết liên quan