(C2.00005). Toán HSG THCS: Giải phương trình

 Đề:

Giải phương trình sau: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{5}{16}$

Bài làm:

Điều kiện:

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2 \not = 0\\ (x+2)^2 \not = 0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned} x \not = 0\\ x \not = -2\end{aligned}\right.$

Đặt $u=\frac{1}{x^2}$ và $v=\frac{1}{(x+2)^2}$ ($u,v > 0$)

Phương trình đã cho thành: $u+v=\frac{5}{16}$(1)

Từ $u=\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow |x| = \frac{1}{\sqrt{u}}$ 

và: $v=\frac{1}{(x+2)^2} \Leftrightarrow |x+2| = \frac{1}{\sqrt{v}}$

• Xét $ x > 0$: Khi đó
  $\left \lbrace \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{u}} = x \\ \frac{1}{\sqrt{v}}=x+2\end{aligned}\right.$
  $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{v}}-\frac{1}{\sqrt{u}} =2 $
  $\Leftrightarrow  \sqrt{u}-\sqrt{v}=2\sqrt{uv} $ 
  $\Rightarrow  u -2\sqrt{uv}+v=4uv $
  $\Rightarrow  \frac{5}{16} -2\sqrt{uv}=4uv $
  $\Leftrightarrow  4uv + 2\sqrt{uv} - \frac{5}{16}= 0$
  Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{uv}$ ta thu được hai nghiệm:
  $\sqrt{uv}=-\frac{5}{8}$ (loại) và $\sqrt{uv}=\frac{1}{8} \Rightarrow uv = \frac{1}{64}$ (2)
  Từ (1) ,(2) và lưu ý $u > v$, ta tìm được: $u=\frac{1}{4}, v=\frac{1}{16}$  hay $x=2$
•  Xét $ -2<x<0 $: Khi đó
  $\left \lbrace \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{u}} = -x \\ \frac{1}{\sqrt{v}}=x+2\end{aligned}\right.$
  $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{v}}+\frac{1}{\sqrt{u}} = 2 $
  $\Leftrightarrow  \sqrt{u}+\sqrt{v}=2\sqrt{uv} $ 
  $\Rightarrow  u +2\sqrt{uv}+v=4uv $
  $\Rightarrow  \frac{5}{16} +2\sqrt{uv}=4uv $
  $\Leftrightarrow  4uv -2\sqrt{uv} - \frac{5}{16}= 0$
  Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{uv}$ ta thu được hai nghiệm:
  $\sqrt{uv}=-\frac{1}{8}$ (loại) và $\sqrt{uv}=\frac{5}{8} \Rightarrow uv = \frac{25}{64}$ (3)
  Không có $u,v$ nào thỏa mãn (1) và (3)
  
• Xét $ x < -2 $: Khi đó 
  $\left \lbrace \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{u}} = -x \\ \frac{1}{\sqrt{v}}=-(x+2)\end{aligned}\right.$
  $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{1}{\sqrt{v}} =2 $
  $\Leftrightarrow  \sqrt{v}-\sqrt{u}=2\sqrt{uv} $ 
  $\Rightarrow  u -2\sqrt{uv}+v=4uv $
  $\Rightarrow  \frac{5}{16} -2\sqrt{uv}=4uv $
  $\Leftrightarrow  4uv + 2\sqrt{uv} - \frac{5}{16}= 0$
  $\sqrt{uv}=-\frac{5}{8}$ (loại) và $\sqrt{uv}=\frac{1}{8} \Rightarrow uv = \frac{1}{64}$ (4)
  Từ (1) ,(4) và lưu ý $v > u$, ta tìm được: $u=\frac{1}{16}, v=\frac{1}{4}$  hay $x=-4$
  

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x=2$ và $x=-4$

Bài viết liên quan