(C2.00008).Toán HSG THCS. Tính giá trị biểu thức

Đề:

Cho biểu thức $M=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$ với a,b > 0 và $a \not=b$

Rút gọn M và tính giá trị của biểu thức M biết $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1$

Bài làm:

Rút gọn biểu thức:
$M=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-(\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}})$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{a})+b(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})}$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{a}+b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{b-a}$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}+a\sqrt{b}-a\sqrt{a}+b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{a-b}$

$=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{a-b}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Sau khi rút gọn ta có $M=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Tính giá trị M khi $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1$

Ta có: $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1$

$\Leftrightarrow 1-b-a+ab+2\sqrt{ab}=1$

$\Leftrightarrow ab = a -2\sqrt{ab}+b$

$\Leftrightarrow ab = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$

$\Rightarrow \sqrt{ab}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ (1)

•  a > b: (1) $\Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ $\Rightarrow M =\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=1$
• a < b: (1) $\Rightarrow \sqrt{ab}=-(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ $\Rightarrow M =\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=-1$

Bài viết liên quan