(C2.00009).Toán HSG THCS: Giải phương trình nghiệm nguyên có chứa số vô tỉ

 Đề:

Tìm các số nguyên a,b thỏa mãn: $\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3$

Bài giải:

Điều kiện: 

$\left \lbrace \begin{aligned} a+b\sqrt{2} \not = 0\\ a-b\sqrt{2} \not = 0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow a^2-2b^2 \not = 0$

Ta có:

$\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3$

$\Leftrightarrow \frac{5(a-b\sqrt{2})-4(a+b\sqrt{2})}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}+18\sqrt{2}=3$ (quy đồng mẫu số)

$\Leftrightarrow \frac{a-9b\sqrt{2}}{ a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3$ (sử dụng hằng đẳng thức $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$)

$\Leftrightarrow \frac{a}{ a^2-2b^2}-3 = \frac{9b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}-18\sqrt{2}$ 

$\Leftrightarrow\frac{a-3a^2+6b^2}{ a^2-2b^2} = \frac{9b-18a^2+36b^2}{a^2-2b^2}\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow a-3a^2+6b^2=(9b-18a^2+36b^2)\sqrt{2}$ (do $a^2-2b^2 \not = 0$)

Phương trình có dạng $A=B\sqrt{2}$ trong đó $A= a-3a^2+6b^2$ và $B=9b-18a^2+36b^2$ là những số nguyên. Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên phương trình xảy ra khi và chỉ khi $A=B=0$

Hay $\left \lbrace \begin{aligned} a-3a^2+6b^2=0\\ 9b-18a^2+36b^2=0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned} a-3a^2+6b^2=&0\\ b-2a^2+4b^2=&0\text{(chia hai vế cho 4)}\end{aligned}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned} 2a-6a^2+12b^2=&0\text{(nhân hai vế cho 2)}\\ 3b-6a^2+12b^2=&0\text{(nhân hai vế cho 3)}\end{aligned}\right.$

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 2 vế theo vế ta có:

$2a=3b$

$a=\frac{3}{2}b$

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ban đầu ta có:
$(\frac{3}{2}b)-3(\frac{3}{2}b)^2+6b^2=0$

$\Leftrightarrow 2b-b^2=0$

$\Leftrightarrow b(2-b)=0$

$\Leftrightarrow b=0 \lor b=2$

+ $b = 0 \Rightarrow a= 0$ (loại vì điều kiện $a^2-2b^2 \not = 0$)

+ $b = 2 \Rightarrow a= 3$ (thỏa điều kiện)

Thử lại ta thấy $a=3$, $b=2$ là hai số nguyên cần tìm.

Bài viết liên quan