(C2.00014). Toán HSG THCS Giải phương trình nghiệm nguyên

 Đề:

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn $x^2+2y^2-2xy+2x-6y+1=0$

Bài làm:

Cách 1: Đưa về tổng các bình phương 

Ta có: $x^2+2y^2-2xy+2x-6y+1=0$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy+2x-2y+1)+(y^2-4y+4)=4$

$\Leftrightarrow (x-y+1)^2+(y-2)^2=4$

$\Leftrightarrow (x-y+1)^2=4-(y-2)^2$

$\Leftrightarrow (x-y+1)^2=(4-y)y$ (1)

Từ đây suy ra $(4-y)y \ge 0$

$\Leftrightarrow 0\le y\le4$
Thay lần lượt các giá trị của y từ 0 đến 4 vào (1) để tính x:

y	0	1	2	3	4
x	-1	(*)	{-1;3}	(*)	3

(*) x không là số nguyên nên loại

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là $\{(-1;0),(-1;2),(3;2),(3;4)\}$

Cách 2: Giải phương t rình bậc 2 theo ẩn x. Khi biện luận delta ta sẽ quay về đoạn cuối cách trên.

(C2.00013).Thi HSG THCS Xã Đồng Lộc 2025: Giải phương trình

 Đề:

Giải phương trình $(5x+2025)^3-(2x+2026)^3=(3x-1)^3$

Bài giải:

Đặt $u=5x+2025$ và $v=2x+2026$

Ta có: $u-v=(5x+2025)-(2x+2026)=3x-1$

Ngoài ra $2u-5v=2(5x+2025)-5(2x+2026)=-6080$

Ta có hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned} u^3-v^3=(u-v)^3\\ 2u-5v=-6080\end{aligned}\right.$

$PT1 \Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2)-(u-v)^3=0$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2-(u-v)^2)=0$

$\Leftrightarrow (u-v) 3uv = 0$

$\Leftrightarrow u=v \lor u=0 \lor v=0$

1) $u=v$

Thay vào PT2 ta có $-3v = - 6080$

$\Leftrightarrow v = \frac{6080}{3}$

$\Leftrightarrow 2x+2026 =  \frac{6080}{3}$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Thử lại với $x = \frac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình đã cho

2) $u=0$

$\Leftrightarrow 5x+2025=0$

$\Leftrightarrow x = -405$

Thử lại với $x = -405 $ là nghiệm của phương trình đã cho
3) $v=0$

$\Leftrightarrow 2x+2026 = 0$

$\Leftrightarrow x = -1013$

Thử lại với $x = -1013  $ là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm {-1013;-405;$\frac{1}{3}$}

(C2.00012).Toán HSG THCS Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019-2020

 Đề:

Cho các số thực x,y,a thỏa mãn:$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$

Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$

Bài giải:

Điều kiện: $a \ge 0$

Ta có:$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x^6}+\sqrt[3]{x^4}\sqrt[3]{y^2}}+\sqrt{\sqrt[3]{y^6}+\sqrt[3]{y^4}\sqrt[3]{x^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x^4}(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})}+\sqrt{\sqrt[3]{y^4}(\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2})}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}+\sqrt[3]{y^2}\sqrt{\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2}}=a$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3}=a$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3=a^2$  (vì $a\ge 0$)

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$ (đpcm)

(C2.00011). Toán HSG THCS: Chứng minh bất đẳng thức

 Đề:

Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 6.(\frac{1}{5(a+b)+8c}+\frac{1}{5(b+c)+8a}+\frac{1}{5(c+a)+8b})$

Bài giải:

Hướng đi của dạng bài này là đầu tiên ta cần phân tích: 
$5(a+b)+8c = x(2a+b)+y(2b+c)+z(2c+a)$
Bằng cách giải phương trình ta tìm ra $x=1,y=2,z=3$

Do đó nếu đặt $u=2a+b, v=2b+c, t=2c+a$ thì bất đẳng thức đã cho thành:

$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t}\ge6.(\frac{1}{u+2v+3t}+\frac{1}{v+2t+3u}+\frac{1}{t+2u+3v})$ (*)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng: $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge\frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2}$

Ta có: $\frac{1}{u}+\frac{2^2}{2v}+\frac{3^2}{3t} \ge \frac{(1+2+3)^2}{u+2v+3t}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u}+\frac{4}{2v}+\frac{9}{3t}\ge \frac{36}{u+2v+3t}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6}(\frac{1}{u}+\frac{2}{v}+\frac{3}{t}) \ge 6.\frac{1}{u+2v+3t}$ (1)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{1}{6}(\frac{3}{u}+\frac{1}{v}+\frac{2}{t}) \ge 6.\frac{1}{v+2t+3u}$ (2)

$ \frac{1}{6}(\frac{2}{u}+\frac{3}{v}+\frac{1}{t}) \ge 6.\frac{1}{t+2u+3v}$ (3)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (1),(2), (3) ta thu được (*)

Dấu "=" xảy ra ở (1) khi và chỉ khi $\frac{1}{u}=\frac{2}{2v}=\frac{3}{3t}$

hay $u=v=t$. Điều kiện này thì đẳng thức (2)và (3) cũng xảy ra.

Vậy dấu "=" ở (*) xảy ra khi và chỉ khi $u=v=t$ hay $a=b=c$

Một số đề tương tự:

1. Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 10.(\frac{1}{9a+5b+16c}+\frac{1}{9b+5c+16a}+\frac{1}{9c+5a+16b})$

2. Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 30.(\frac{1}{26a+11b+53c}+\frac{1}{26b+11c+53a}+\frac{1}{26c+11a+53b})$

(C2.00010). Thi HSG THCS xã Đô Lương (2025): Tính giá trị biểu thức

 Đề:

Cho a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn:$a^2+3a=b^2+3b$. Tính $T=a^3+b^3-9ab$

Bài giải:

Từ: $a^2+3a=b^2+3b$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)+(3a-3b)=0$

$\Leftrightarrow(a+b)(a-b)+3(a-b)=0$

$(a-b)(a+b+3)=0$(1)

Do $a \not = b$ nên $(1) \Leftrightarrow a+b+3=0$

$\Leftrightarrow a+b=-3$ (2)

Ta có: $T=a^3+b^3-9ab=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2-9ab=(a+b)^3-3ab(a+b)-9ab$(3)

Thay (2) vào (3) ta có:

$T=(-3)^3-3ab(-3)-9ab=-27+9ab-9ab=-27$

Vậy $T=-27$

(C2.00009).Toán HSG THCS: Giải phương trình nghiệm nguyên có chứa số vô tỉ

 Đề:

Tìm các số nguyên a,b thỏa mãn: $\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3$

Bài giải:

Điều kiện: 

$\left \lbrace \begin{aligned} a+b\sqrt{2} \not = 0\\ a-b\sqrt{2} \not = 0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow a^2-2b^2 \not = 0$

Ta có:

$\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3$

$\Leftrightarrow \frac{5(a-b\sqrt{2})-4(a+b\sqrt{2})}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}+18\sqrt{2}=3$ (quy đồng mẫu số)

$\Leftrightarrow \frac{a-9b\sqrt{2}}{ a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3$ (sử dụng hằng đẳng thức $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$)

$\Leftrightarrow \frac{a}{ a^2-2b^2}-3 = \frac{9b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}-18\sqrt{2}$ 

$\Leftrightarrow\frac{a-3a^2+6b^2}{ a^2-2b^2} = \frac{9b-18a^2+36b^2}{a^2-2b^2}\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow a-3a^2+6b^2=(9b-18a^2+36b^2)\sqrt{2}$ (do $a^2-2b^2 \not = 0$)

Phương trình có dạng $A=B\sqrt{2}$ trong đó $A= a-3a^2+6b^2$ và $B=9b-18a^2+36b^2$ là những số nguyên. Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên phương trình xảy ra khi và chỉ khi $A=B=0$

Hay $\left \lbrace \begin{aligned} a-3a^2+6b^2=0\\ 9b-18a^2+36b^2=0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned} a-3a^2+6b^2=&0\\ b-2a^2+4b^2=&0\text{(chia hai vế cho 4)}\end{aligned}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned} 2a-6a^2+12b^2=&0\text{(nhân hai vế cho 2)}\\ 3b-6a^2+12b^2=&0\text{(nhân hai vế cho 3)}\end{aligned}\right.$

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 2 vế theo vế ta có:

$2a=3b$

$a=\frac{3}{2}b$

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ban đầu ta có:
$(\frac{3}{2}b)-3(\frac{3}{2}b)^2+6b^2=0$

$\Leftrightarrow 2b-b^2=0$

$\Leftrightarrow b(2-b)=0$

$\Leftrightarrow b=0 \lor b=2$

+ $b = 0 \Rightarrow a= 0$ (loại vì điều kiện $a^2-2b^2 \not = 0$)

+ $b = 2 \Rightarrow a= 3$ (thỏa điều kiện)

Thử lại ta thấy $a=3$, $b=2$ là hai số nguyên cần tìm.

(C2.00008).Toán HSG THCS. Tính giá trị biểu thức

Đề:

Cho biểu thức $M=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$ với a,b > 0 và $a \not=b$

Rút gọn M và tính giá trị của biểu thức M biết $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1$

Bài làm:

Rút gọn biểu thức:
$M=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-(\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}})$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{a})+b(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{a})}$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{a}+b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{b-a}$

$=\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}+a\sqrt{b}-a\sqrt{a}+b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{a-b}$

$=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{a-b}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Sau khi rút gọn ta có $M=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Tính giá trị M khi $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1$

Ta có: $(1-a)(1-b)+2\sqrt{ab}=1$

$\Leftrightarrow 1-b-a+ab+2\sqrt{ab}=1$

$\Leftrightarrow ab = a -2\sqrt{ab}+b$

$\Leftrightarrow ab = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$

$\Rightarrow \sqrt{ab}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ (1)

•  a > b: (1) $\Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ $\Rightarrow M =\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=1$
• a < b: (1) $\Rightarrow \sqrt{ab}=-(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ $\Rightarrow M =\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=-1$

(C2.00007).Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

 Đề:

Cho a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$;$a+b+c=23$;$\sqrt{abc}=3$

Tính giá trị biểu thức $H=\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$

Bài làm:

Ta đánh số các biểu thức đã cho để dễ tham khảo khi cần:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$ (1)

$a+b+c=23$ (2)

$\sqrt{abc}=3$ (3)

Ta đi bình phương hai vế của (1), thu được:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=7^2$ 

$\Leftrightarrow a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 49$

$\Leftrightarrow 23+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 49$ (áp dụng đẳng thức (2))

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) = 26$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} = 13$ (4)

Ta có: $\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6 = \sqrt{ab}+(7-\sqrt{a}-\sqrt{b})-6 $ (Áp dụng (1))

$=\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1$

$=(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)$

Biến đổi tương tự ta có:

$\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6 = (\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)$

$\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6 = (\sqrt{c}-1)(\sqrt{a}-1)$

Vậy: $H=\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$

$=\frac{1}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)}+\frac{1}{(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}+\frac{1}{(\sqrt{c}-1)(\sqrt{a}-1)}$

$=\frac{(\sqrt{a}-1)+(\sqrt{b}-1)+(\sqrt{c}-1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$

$=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$

$=\frac{7-3}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$ (Áp dụng (1))

$=\frac{4}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)}$ 

Mà: $(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1) = (\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}-1)$

$=\sqrt{abc}-\sqrt{ac}-\sqrt{bc}+\sqrt{c}-\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}-1$ 

$=3-(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) + (\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c})-1$(Áp dụng (3))

$=2-13+7$ (Áp dụng (4) và (1))

$=-4$

Vậy $H=\frac{4}{-4}=-1$

(C2.00006).Toán HSG THCS: Tính chất chia hết của số nguyên

 Đề:

Cho các số nguyên a, b thỏa mãn $a^2+ab+4b^2$ chia hết cho 9. Chứng minh rằng $a+2b$ chia hết cho 3 và $a^2-ab+4b^2$ chia hết cho 9.

Bài giải:

Do $a^2+ab+4b^2$ chia hết cho 9 nên tồn tại số nguyên k sao cho:

$a^2+ab+4b^2=9k$

$\Leftrightarrow a^2+4ab+4b^2=9k+3ab$

$\Leftrightarrow (a+2b)^2=9k+3ab$

Vì $9k+3ab \ \vdots \ 3 \Rightarrow (a+2b)^2 \ \vdots \ 3$

Mà 3 là số nguyên tố nên ta có $a+2b \ \vdots \ 3$ (định lí Euclid)
Vì $a+2b \ \vdots \ 3 \Rightarrow (a+2b)^2 \ \vdots \ 9$

$\Rightarrow 9k+3ab  \ \vdots \ 9 \Rightarrow 3ab   \ \vdots \ 9$

$a^2-ab+4b^2=(a^2+2ab+4b^2) - 3ab=(a+2b)^2-3ab$

Mà $(a+2b)^2 \ \vdots \ 9$ và $3ab  \ \vdots \ 9$ nên $a^2-ab+4b^2  \ \vdots \ 9$ 

(C2.00005). Toán HSG THCS: Giải phương trình

 Đề:

Giải phương trình sau: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{5}{16}$

Bài làm:

Điều kiện:

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2 \not = 0\\ (x+2)^2 \not = 0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned} x \not = 0\\ x \not = -2\end{aligned}\right.$

Đặt $u=\frac{1}{x^2}$ và $v=\frac{1}{(x+2)^2}$ ($u,v > 0$)

Phương trình đã cho thành: $u+v=\frac{5}{16}$(1)

Từ $u=\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow |x| = \frac{1}{\sqrt{u}}$ 

và: $v=\frac{1}{(x+2)^2} \Leftrightarrow |x+2| = \frac{1}{\sqrt{v}}$

• Xét $ x > 0$: Khi đó
  $\left \lbrace \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{u}} = x \\ \frac{1}{\sqrt{v}}=x+2\end{aligned}\right.$
  $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{v}}-\frac{1}{\sqrt{u}} =2 $
  $\Leftrightarrow  \sqrt{u}-\sqrt{v}=2\sqrt{uv} $ 
  $\Rightarrow  u -2\sqrt{uv}+v=4uv $
  $\Rightarrow  \frac{5}{16} -2\sqrt{uv}=4uv $
  $\Leftrightarrow  4uv + 2\sqrt{uv} - \frac{5}{16}= 0$
  Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{uv}$ ta thu được hai nghiệm:
  $\sqrt{uv}=-\frac{5}{8}$ (loại) và $\sqrt{uv}=\frac{1}{8} \Rightarrow uv = \frac{1}{64}$ (2)
  Từ (1) ,(2) và lưu ý $u > v$, ta tìm được: $u=\frac{1}{4}, v=\frac{1}{16}$  hay $x=2$
•  Xét $ -2<x<0 $: Khi đó
  $\left \lbrace \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{u}} = -x \\ \frac{1}{\sqrt{v}}=x+2\end{aligned}\right.$
  $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{v}}+\frac{1}{\sqrt{u}} = 2 $
  $\Leftrightarrow  \sqrt{u}+\sqrt{v}=2\sqrt{uv} $ 
  $\Rightarrow  u +2\sqrt{uv}+v=4uv $
  $\Rightarrow  \frac{5}{16} +2\sqrt{uv}=4uv $
  $\Leftrightarrow  4uv -2\sqrt{uv} - \frac{5}{16}= 0$
  Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{uv}$ ta thu được hai nghiệm:
  $\sqrt{uv}=-\frac{1}{8}$ (loại) và $\sqrt{uv}=\frac{5}{8} \Rightarrow uv = \frac{25}{64}$ (3)
  Không có $u,v$ nào thỏa mãn (1) và (3)
  
• Xét $ x < -2 $: Khi đó 
  $\left \lbrace \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{u}} = -x \\ \frac{1}{\sqrt{v}}=-(x+2)\end{aligned}\right.$
  $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{1}{\sqrt{v}} =2 $
  $\Leftrightarrow  \sqrt{v}-\sqrt{u}=2\sqrt{uv} $ 
  $\Rightarrow  u -2\sqrt{uv}+v=4uv $
  $\Rightarrow  \frac{5}{16} -2\sqrt{uv}=4uv $
  $\Leftrightarrow  4uv + 2\sqrt{uv} - \frac{5}{16}= 0$
  $\sqrt{uv}=-\frac{5}{8}$ (loại) và $\sqrt{uv}=\frac{1}{8} \Rightarrow uv = \frac{1}{64}$ (4)
  Từ (1) ,(4) và lưu ý $v > u$, ta tìm được: $u=\frac{1}{16}, v=\frac{1}{4}$  hay $x=-4$
  

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x=2$ và $x=-4$

(C2.00004). Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

 Đề:

Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện:

$(a+1)^2=b^2+1$; $(b+1)^2=c^2+1$;$(c+1)^2=a^2+1$

Tính giá trị của biểu thức $P=(a-b)(b-c)(c-a)$

Bài giải:

Cộng vế theo vế ba đẳng thức đã cho ta có:

$(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=b^2+1+c^2+1+a^2+1$

$\Leftrightarrow \{(a+1)^2-(a^2+1)\} +\{(b+1)^2-(b^2+1)\}+\{(c+1)^2-(c^2+1)\}=0$ 

$\Leftrightarrow 2a+2b+2c=0$

$\Leftrightarrow a+b+c=0$ 

Trừ hai vế của đẳng thức thứ nhất cho $a^2$ ta có:

$(a+1)^2-a^2=b^2-a^2+1$

$\Leftrightarrow 2a+1=(b-a)(b+a)+1$

$\Leftrightarrow 2a = (b-a)(-c)$

$\Leftrightarrow a-b = \frac{2a}{c}$ (Vì $c \not = 0$)

Hoàn toàn tương tự ta tính được $b-c = \frac{2b}{a}$ và $c-a=\frac{2c}{b}$

Vậy $P=(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}.\frac{2c}{b}=8$

(GT.00001) Giải trí toán học: Tại sao 1+2=3?

 Từ lớp 1 ta đã được dạy 1+2=3 theo kiểu ta chấp nhận nó. Nhưng lớn lên có bao giờ chúng ta tự hỏi tại sao 1+2=3 không? Liệu có cách chứng minh khoa học nào cho nó không?

Để trả lời cho câu hỏi này ta quay lại các vấn đề cơ bản nhất. Ở đây ta mặc định là xét trong tập hợp các số tự nhiên. Vậy tập hợp các số tự nhiên được định nghĩa thế nào? Có nhiều cách tiếp cận vấn đề này nhưng tôi thích cách tiếp cận của Peano, người ta gọi là các tiên đề Peano:

• Có một số tự nhiên 0.
• Với mọi số tự nhiên a, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là S(a).
• Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
• Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
• Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên.

 Ta tạm dùng cách hiểu thông thường nhất mà mọi người thường dùng như sau:

• Số tự nhiên 0 ở đây là số 0 ta đã biết.
• S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3.

Kế tiếp thì phép cộng trong tập các số tự nhiên định nghĩa thế nào:

Phép cộng (+) là phép tính có hai tính chất sau:

1. a + 0 = a
2. a + S(b) = S(a + b)

Trong đó a,b là hai số tự nhiên bất kì.

Chúng ta quay lại câu hỏi của chúng ta:1+2=3?

Ta tính: 1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2

Bây giờ: 1+2=1+S(1)=S(1+1)=S(2)=3

Vậy 1+2=3 (đpcm)

(C2.00003).Đề thi HGS Tỉnh Long An năm học 1993-1994

Đề:

Cho một cái thùng giấy chứa đầy tạp chí và báo, cân nặng 30kg. Nếu lấy hết tạp chí ra và cho đầy báo vào thì thùng cân nặng 36kg, ngược lại nếu lấy hết báo ra cho đầy tạp chí vào thì thùng cân nặng 28kg. Hỏi lúc đầu thùng chứa bao nhiêu kg báo, bao nhiêu kg tạp chí.

Bài giải:

Đây là đề toán tôi cho rằng nó vô cùng xuất sắc. Sau này tôi biết đề do Thầy Trí công tác Sở giáo dục và đào tạo Long An ra đề. Tuy nhiên tôi chưa có cơ hội để hỏi Thầy là suy nghĩ của Thầy có giống tôi không.

Vậy tại sao tôi nhớ hoài bài toán này và tại sao tôi cho rằng nó xuất sắc. Khi mình ngồi trên ghế nhà trường, tư duy của chúng ta dễ bị đóng hộp (box thinking). Chúng ta đã quen với khái niệm khối lượng riêng có đơn vị là $kg/m^3$, nên vô tình chúng ta đã quên đi khái niệm gốc của khối lượng riêng là: "khối lượng của vật thể trên một đơn vị thể tích". Không ai bắt chúng ta đơn vị thể tích phải là $m^3$ cả nhưng vì cái hộp đã chụp lại tư duy của ta. 

Quay lại bài toán, nếu chúng ta không vượt ra khỏi cái hộp thì bài toán này rất khó giải. Nhưng chúng ta chọn đơn vị thể tích của chúng ta là "thùng" đựng báo và tạp chí thì bài toán vô cùng đơn giản.

Đề đã cho khối lượng riêng của báo và tạp chí lần lượt là: $36kg/\text{thùng}$ và $28kg/\text{thùng}$

Vậy ta gọi lần lượt x,y là phần thể tích (thùng) của báo và tạp chí chiếm chỗ trong thùng ban đầu. Ta có hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned} x + y = 1\\ 36x+28y=30\end{aligned}\right.$

Giải hệ phương trình này ta có: 

$\left \lbrace \begin{aligned} x =\frac{1}{4}\\ y=\frac{3}{4}\end{aligned}\right.$

Từ đây ta dễ dàng tính được:

• Khối lượng báo: $36x=36*\frac{1}{4}=9$ kg.
• Khối lượng tạp chí: $28y=28*\frac{3}{4}=21$kg.

 

(C2.00002).Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình

 Đề:

Giải hệ phương trình: 

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2+xy+y^2=7 \\ x^3-2x=y^3+3y\end{aligned}\right.$

Bài giải:

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2+xy+y^2=7 (1) \\ x^3-2x=y^3+3y (2)\end{aligned}\right.$

Ta có: (2) $\Leftrightarrow x^3-y^3=3y+2x$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=3y+2x$ (3)

Thay (1) vào (3) ta có:

(3) $\Leftrightarrow 7(x-y) = 3y + 2x $

$\Leftrightarrow 5x = 10y$

$\Leftrightarrow x = 2y$

Thay vào (1) ta có:

$\Leftrightarrow (2y)^2 + (2y)y+y^2=7$

$\Leftrightarrow 7y^2=7$

$\Leftrightarrow y^2=1$

$\Leftrightarrow y = \pm 1$

Tương ứng $x = \pm 2$

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (x;y) là {(-1;-2),(1;2)} 

(C2.00001).Toán HSG THCS: Giải phương trình căn thức bằng cách đặt ẩn phụ

 Đề:

Cho $\sqrt[3]{a+5}-\sqrt[3]{a-2}=1$

Tìm a.

Bài giải:

Đặt: $u=\sqrt[3]{a+5}$ và $v=\sqrt[3]{a-2}$. Ta có: $u^3-v^3=7$

và đề cho: $u-v=1$

Ta thu được hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}& u^3-v^3=7 \\& u-v=1 \end{aligned}\right.$

Biến đổi phương trình thứ nhất:

$u^3-v^3=7$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2)=7$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2-2uv+v^2+3uv)=7$

$\Leftrightarrow (u-v)((u-v)^2+3uv)=7$ (1)

Do $u-v=1$ nên (1) trở thành $1+3uv = 7 $

$\Leftrightarrow uv = 2$

$\Leftrightarrow (1+v)v = 2$

$\Leftrightarrow v^2+v-2=0$

Phương trình có hai nghiệm: $v=1$ hoặc $v=-2$

+ Với $v=1$, ta tính được $u=2$. Ta tìm được $a=3$

+ Với $v=-2$, ta tính được $u=-1$. Ta tìm được $a=-6$

Vậy có hai giá trị a cần tìm là {-6;0}

Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình 3 ẩn số

 Đề:

Giải hệ phương trình sau:

$\left \lbrace \begin{aligned}& x + y = z^2 \\& x = 2 (y+z) \\& xy = 2(z+1) \end{aligned}\right.$

Bài giải:

Ta nhận xét hệ phương trình không đối xứng nên sẽ dùng phương pháp thế. Biến z có bậc 2 trong khi x và y bậc 1 nên ta sẽ giữ lại biến z.

Thay $ x = 2 (y+z) $ vào phương trình thứ nhất ta có:

$ 2 (y+z) + y = z^2$

$ \Leftrightarrow 3y + 2z = z^2$

$ \Leftrightarrow y = \frac{z^2 - 2z}{3}$

Thay kết quả này vào phương trình thứ 2 để tính x theo z:

$ x = 2(\frac{z^2 - 2z}{3} + z) = 2\frac{z^2+z}{3}$

Thay kết quả tính x và y theo z vào phương trình thứ ba ta có:

$2\frac{z^2+z}{3}\frac{z^2 - 2z}{3}=2(z+1)$

$ \Leftrightarrow (z^2+z)(z^2-2z)=9(z+1)$

$ \Leftrightarrow z(z+1)(z^2-2z)=9(z+1)$ (1)

+ Xét $z=-1$. Ta tính được x=0, y=1 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+ Xét $z \not =-1$. (1) $ \Leftrightarrow z(z^2-2z)=9$

$\Leftrightarrow z^3-2z^2-9=0$

$\Leftrightarrow (z-3)(z^2+z+3)=0$ (2)

Vì $z^2+z+3 > 0$ $\forall z$

Nên (2) $ \Leftrightarrow  z-3 =0 \Leftrightarrow z = 3$

Từ z ta tính được x = 8, y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y;z) là {(0;1;-1), (8,1,3)}

Toán HSG THCS: Phương trình nghiệm nguyên chứa giai thừa

Đề:
Giải phương trình nghiệm nguyên thỏa:
$1!+2!+..+x!=y^2$

Bài giải:
Ta có: $n!=1.2.3.4...(n-1).n$
Do đó nếu $x \ge 5$:
$VT = 1!+2!+3!+4!+5!+..+x! = 33+5k$
Số này chia cho 5 dư 3.
Mà ta biết một số chính phương chia cho 5 dư 0,1 hoặc 4.
Vậy $x \le 4$.
Ta thử lần lượt các giá trị có thể của x 1,2,3,4 thì thấy $x=3,y=3$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

Đề:
Cho $a,b,c \ge 0 $ thỏa mãn:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Tính $P = (a+1)(b+1)(c+1)$

Bài giải:
Từ:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Cộng vế theo vế 3 đẳng thức ta có:
$a^3+1+b^3+1+c^3+1=a^2+b^2+c^2+a+b+c$
$\Leftrightarrow (a^3-a^2-a+1)+(b^3-b^2-b+1)+(c^3-c^2-c+1)=0$
$\Leftrightarrow (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2=0$ (1)
Vì $a \ge 0$ nên $ a+1 > 0$
Do đó $(a+1)(a-1)^2 \ge 0$ Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Tương tự $(b+1)(b-1)^2 \ge 0$ và $(c+1)(c-1)^2 \ge 0$
Suy ra $ (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2 \ge 0 $ (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra $a=b=c=1$
Vậy $P = (a+1)(b+1)(c+1) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8$
Đáp số: $P=8$

HSG THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}\ge 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Bài giải:
Ta chứng minh với hai số thực $x,y>0$ thì:
$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$ (1)
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y}}{\sqrt{y}.\sqrt{y}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge x.\sqrt{y}+y.\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow (x.\sqrt{x} - x.\sqrt{y})+ (y.\sqrt{y} - y.\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow x.(\sqrt{x}-\sqrt{y})+y.(\sqrt{y}-\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \ge 0 $ (2)
Do $x-y$ và $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ luôn cùng dấu nên (2) đúng.
$ Vậy (1) đúng$
Dấu "=" xảy ra khi "x = y"
Lần lượt áp dụng (1) cho các cặp số sau:

• a và c: $\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{c}$ (3)
• c và b: $\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{c}+\sqrt{b}$ (4)
• b và a: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\ge \sqrt{b}+\sqrt{a}$ (5)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (3),(4),(5) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi "$a=b=c$"

Toán THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b > 0; (a+1)(b+1)=4ab
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt{3a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+1}}\le1$

Bài giải:
Ta có:
$(a+1)(b+1)=4ab \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=4$ (1)
Đến đây bài toán gợi ý chúng ta đổi biến. Ta đặt: $x=\frac{1}{a}$ và $y=\frac{1}{b}$ (x,y>0)
Biểu thức (1) trở thành $(x+1)(y+1)=4$
$\Leftrightarrow xy+x+y+1=3$
$\Leftrightarrow xy = 3-x-y$ (2)
Bất đẳng thức đã cho viết lại là:
$\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{x})^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{y})^2+1}}\le1$
$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}}\le1$
Để phá bỏ căn ở dưới mẫu ta cần đưa về dạng bình phương của một tổng.
Điều này nhắc chúng ta nên sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(x^2+(\sqrt{3})^2)(1^2+(\sqrt{3})^2) \ge (1.x+(\sqrt{3}).(\sqrt{3}))^2$
$\Leftrightarrow (x^2+3).4 \ge (x+3)^2$
$\Leftrightarrow x^2+3 \ge \frac{(x+3)^2}{4}$ (3)
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
$\Leftrightarrow x = 1$
Tương tự ta có $y^2+3 \ge \frac{(y+3)^2}{4}$ (4)
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$
Áp dụng kết quả (3) và (4) ta có: $VT = \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}} \le \frac{x}{\sqrt{\frac{(x+3)^2}{4}}}+\frac{y}{\sqrt{{\frac{(y+3)^2}{4}}}}$
$=\frac{2x}{x+3}+\frac{2y}{y+3)} = 2\frac{x(y+3)+y(x+3)}{(x+3)(y+3)}$
$=2.\frac{xy+3x+xy+3y}{xy+3x+3y+9}$
$=2.\frac{2xy+3y+3x}{xy+3x+3y+9}$
Sử dụng (2) ta có:
$VT \le 2.\frac{2(3-x-y)+3x+3y}{(3-x-y)+3x+3y+9}$
$=2\frac{6-2x-2y+3x+3y}{12+2x+2y}$
$=2\frac{6+x+y}{12+2x+2y}=1$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ hay $a=b=1$