Đề bài:
Cho tam giác ABC có góc B nhọn và $\widehat{B}=2\widehat{C}$. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BH . Chứng minh:
a) Đường thẳng KH đi qua trung điểm của cạnh AC.
b) BC - AB = 2BH
Bài giải:
Gọi M là giao điểm KH và AC.
Ta cần chứng minh AM = MC.
Ta có tam giác BKH là tam giác cân tại B do BH = BK
Suy ra $\widehat{BKH}=\widehat{BHK}$
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BHK} + \widehat{BKH}$ (góc ngoài)
$\Rightarrow \widehat{ABC}=2 \widehat{BHK}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=2 \widehat{MHC}$
$\Rightarrow \widehat{MHC}= \widehat{MCH}$
$\Rightarrow \triangle HMC$ cân tại M.
$\Rightarrow MH = MC$ (1)
Hơn nữa:
$\widehat{AHG} + \widehat{GHC} = 90^0$ (Do AH ⊥ BC)
$\Rightarrow \widehat{AHG} + \widehat{MCH} = 90^0$
Mà:
$\widehat{HAG} + \widehat{MCH} = 90^0$
Nên:
$\widehat{HAG} = \widehat{AHG}$
$\Rightarrow \triangle HMA$ cân tại M.
$\Rightarrow MH = MA$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MA = MC.
Vậy: KH đi qua trung điểm M của AC.
b) Chứng minh BC - AB = 2BH
Gọi D là giao điểm của KH với đường thẳng đi qua A và song song với BC.
Do AD //BC nên ta có:
$\Rightarrow \widehat{ADH}= \widehat{AHD}$
$\Rightarrow \widehat{ADK}= \widehat{AKD}$
$\Rightarrow \triangle KAD $ cân tại A.
$\Rightarrow AK = AD$
$\Rightarrow AK = HC$
$\Rightarrow AB + BK = HC$
$\Rightarrow AB = HC - BK$
$\Rightarrow AB = HC - BH$
Vậy
BC - AB = BH + HC - (HC -BH) = 2BH (đpcm)
