(GT.00001) Giải trí toán học: Tại sao 1+2=3?

 Từ lớp 1 ta đã được dạy 1+2=3 theo kiểu ta chấp nhận nó. Nhưng lớn lên có bao giờ chúng ta tự hỏi tại sao 1+2=3 không? Liệu có cách chứng minh khoa học nào cho nó không?

Để trả lời cho câu hỏi này ta quay lại các vấn đề cơ bản nhất. Ở đây ta mặc định là xét trong tập hợp các số tự nhiên. Vậy tập hợp các số tự nhiên được định nghĩa thế nào? Có nhiều cách tiếp cận vấn đề này nhưng tôi thích cách tiếp cận của Peano, người ta gọi là các tiên đề Peano:

• Có một số tự nhiên 0.
• Với mọi số tự nhiên a, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là S(a).
• Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
• Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
• Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên.

 Ta tạm dùng cách hiểu thông thường nhất mà mọi người thường dùng như sau:

• Số tự nhiên 0 ở đây là số 0 ta đã biết.
• S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3.

Kế tiếp thì phép cộng trong tập các số tự nhiên định nghĩa thế nào:

Phép cộng (+) là phép tính có hai tính chất sau:

1. a + 0 = a
2. a + S(b) = S(a + b)

Trong đó a,b là hai số tự nhiên bất kì.

Chúng ta quay lại câu hỏi của chúng ta:1+2=3?

Ta tính: 1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2

Bây giờ: 1+2=1+S(1)=S(1+1)=S(2)=3

Vậy 1+2=3 (đpcm)

(C2.00003).Đề thi HGS Tỉnh Long An năm học 1993-1994

Đề:

Cho một cái thùng giấy chứa đầy tạp chí và báo, cân nặng 30kg. Nếu lấy hết tạp chí ra và cho đầy báo vào thì thùng cân nặng 36kg, ngược lại nếu lấy hết báo ra cho đầy tạp chí vào thì thùng cân nặng 28kg. Hỏi lúc đầu thùng chứa bao nhiêu kg báo, bao nhiêu kg tạp chí.

Bài giải:

Đây là đề toán tôi cho rằng nó vô cùng xuất sắc. Sau này tôi biết đề do Thầy Trí công tác Sở giáo dục và đào tạo Long An ra đề. Tuy nhiên tôi chưa có cơ hội để hỏi Thầy là suy nghĩ của Thầy có giống tôi không.

Vậy tại sao tôi nhớ hoài bài toán này và tại sao tôi cho rằng nó xuất sắc. Khi mình ngồi trên ghế nhà trường, tư duy của chúng ta dễ bị đóng hộp (box thinking). Chúng ta đã quen với khái niệm khối lượng riêng có đơn vị là $kg/m^3$, nên vô tình chúng ta đã quên đi khái niệm gốc của khối lượng riêng là: "khối lượng của vật thể trên một đơn vị thể tích". Không ai bắt chúng ta đơn vị thể tích phải là $m^3$ cả nhưng vì cái hộp đã chụp lại tư duy của ta. 

Quay lại bài toán, nếu chúng ta không vượt ra khỏi cái hộp thì bài toán này rất khó giải. Nhưng chúng ta chọn đơn vị thể tích của chúng ta là "thùng" đựng báo và tạp chí thì bài toán vô cùng đơn giản.

Đề đã cho khối lượng riêng của báo và tạp chí lần lượt là: $36kg/\text{thùng}$ và $28kg/\text{thùng}$

Vậy ta gọi lần lượt x,y là phần thể tích (thùng) của báo và tạp chí chiếm chỗ trong thùng ban đầu. Ta có hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned} x + y = 1\\ 36x+28y=30\end{aligned}\right.$

Giải hệ phương trình này ta có: 

$\left \lbrace \begin{aligned} x =\frac{1}{4}\\ y=\frac{3}{4}\end{aligned}\right.$

Từ đây ta dễ dàng tính được:

• Khối lượng báo: $36x=36*\frac{1}{4}=9$ kg.
• Khối lượng tạp chí: $28y=28*\frac{3}{4}=21$kg.

 

(C2.00002).Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình

 Đề:

Giải hệ phương trình: 

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2+xy+y^2=7 \\ x^3-2x=y^3+3y\end{aligned}\right.$

Bài giải:

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2+xy+y^2=7 (1) \\ x^3-2x=y^3+3y (2)\end{aligned}\right.$

Ta có: (2) $\Leftrightarrow x^3-y^3=3y+2x$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=3y+2x$ (3)

Thay (1) vào (3) ta có:

(3) $\Leftrightarrow 7(x-y) = 3y + 2x $

$\Leftrightarrow 5x = 10y$

$\Leftrightarrow x = 2y$

Thay vào (1) ta có:

$\Leftrightarrow (2y)^2 + (2y)y+y^2=7$

$\Leftrightarrow 7y^2=7$

$\Leftrightarrow y^2=1$

$\Leftrightarrow y = \pm 1$

Tương ứng $x = \pm 2$

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (x;y) là {(-1;-2),(1;2)} 

(C2.00001).Toán HSG THCS: Giải phương trình căn thức bằng cách đặt ẩn phụ

 Đề:

Cho $\sqrt[3]{a+5}-\sqrt[3]{a-2}=1$

Tìm a.

Bài giải:

Đặt: $u=\sqrt[3]{a+5}$ và $v=\sqrt[3]{a-2}$. Ta có: $u^3-v^3=7$

và đề cho: $u-v=1$

Ta thu được hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}& u^3-v^3=7 \\& u-v=1 \end{aligned}\right.$

Biến đổi phương trình thứ nhất:

$u^3-v^3=7$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2)=7$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2-2uv+v^2+3uv)=7$

$\Leftrightarrow (u-v)((u-v)^2+3uv)=7$ (1)

Do $u-v=1$ nên (1) trở thành $1+3uv = 7 $

$\Leftrightarrow uv = 2$

$\Leftrightarrow (1+v)v = 2$

$\Leftrightarrow v^2+v-2=0$

Phương trình có hai nghiệm: $v=1$ hoặc $v=-2$

+ Với $v=1$, ta tính được $u=2$. Ta tìm được $a=3$

+ Với $v=-2$, ta tính được $u=-1$. Ta tìm được $a=-6$

Vậy có hai giá trị a cần tìm là {-6;0}

Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình 3 ẩn số

 Đề:

Giải hệ phương trình sau:

$\left \lbrace \begin{aligned}& x + y = z^2 \\& x = 2 (y+z) \\& xy = 2(z+1) \end{aligned}\right.$

Bài giải:

Ta nhận xét hệ phương trình không đối xứng nên sẽ dùng phương pháp thế. Biến z có bậc 2 trong khi x và y bậc 1 nên ta sẽ giữ lại biến z.

Thay $ x = 2 (y+z) $ vào phương trình thứ nhất ta có:

$ 2 (y+z) + y = z^2$

$ \Leftrightarrow 3y + 2z = z^2$

$ \Leftrightarrow y = \frac{z^2 - 2z}{3}$

Thay kết quả này vào phương trình thứ 2 để tính x theo z:

$ x = 2(\frac{z^2 - 2z}{3} + z) = 2\frac{z^2+z}{3}$

Thay kết quả tính x và y theo z vào phương trình thứ ba ta có:

$2\frac{z^2+z}{3}\frac{z^2 - 2z}{3}=2(z+1)$

$ \Leftrightarrow (z^2+z)(z^2-2z)=9(z+1)$

$ \Leftrightarrow z(z+1)(z^2-2z)=9(z+1)$ (1)

+ Xét $z=-1$. Ta tính được x=0, y=1 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+ Xét $z \not =-1$. (1) $ \Leftrightarrow z(z^2-2z)=9$

$\Leftrightarrow z^3-2z^2-9=0$

$\Leftrightarrow (z-3)(z^2+z+3)=0$ (2)

Vì $z^2+z+3 > 0$ $\forall z$

Nên (2) $ \Leftrightarrow  z-3 =0 \Leftrightarrow z = 3$

Từ z ta tính được x = 8, y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y;z) là {(0;1;-1), (8,1,3)}

Toán HSG THCS: Phương trình nghiệm nguyên chứa giai thừa

Đề:
Giải phương trình nghiệm nguyên thỏa:
$1!+2!+..+x!=y^2$

Bài giải:
Ta có: $n!=1.2.3.4...(n-1).n$
Do đó nếu $x \ge 5$:
$VT = 1!+2!+3!+4!+5!+..+x! = 33+5k$
Số này chia cho 5 dư 3.
Mà ta biết một số chính phương chia cho 5 dư 0,1 hoặc 4.
Vậy $x \le 4$.
Ta thử lần lượt các giá trị có thể của x 1,2,3,4 thì thấy $x=3,y=3$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

Đề:
Cho $a,b,c \ge 0 $ thỏa mãn:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Tính $P = (a+1)(b+1)(c+1)$

Bài giải:
Từ:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Cộng vế theo vế 3 đẳng thức ta có:
$a^3+1+b^3+1+c^3+1=a^2+b^2+c^2+a+b+c$
$\Leftrightarrow (a^3-a^2-a+1)+(b^3-b^2-b+1)+(c^3-c^2-c+1)=0$
$\Leftrightarrow (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2=0$ (1)
Vì $a \ge 0$ nên $ a+1 > 0$
Do đó $(a+1)(a-1)^2 \ge 0$ Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Tương tự $(b+1)(b-1)^2 \ge 0$ và $(c+1)(c-1)^2 \ge 0$
Suy ra $ (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2 \ge 0 $ (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra $a=b=c=1$
Vậy $P = (a+1)(b+1)(c+1) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8$
Đáp số: $P=8$

HSG THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}\ge 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Bài giải:
Ta chứng minh với hai số thực $x,y>0$ thì:
$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$ (1)
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y}}{\sqrt{y}.\sqrt{y}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge x.\sqrt{y}+y.\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow (x.\sqrt{x} - x.\sqrt{y})+ (y.\sqrt{y} - y.\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow x.(\sqrt{x}-\sqrt{y})+y.(\sqrt{y}-\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \ge 0 $ (2)
Do $x-y$ và $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ luôn cùng dấu nên (2) đúng.
$ Vậy (1) đúng$
Dấu "=" xảy ra khi "x = y"
Lần lượt áp dụng (1) cho các cặp số sau:

• a và c: $\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{c}$ (3)
• c và b: $\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{c}+\sqrt{b}$ (4)
• b và a: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\ge \sqrt{b}+\sqrt{a}$ (5)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (3),(4),(5) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi "$a=b=c$"

Toán THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b > 0; (a+1)(b+1)=4ab
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt{3a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+1}}\le1$

Bài giải:
Ta có:
$(a+1)(b+1)=4ab \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=4$ (1)
Đến đây bài toán gợi ý chúng ta đổi biến. Ta đặt: $x=\frac{1}{a}$ và $y=\frac{1}{b}$ (x,y>0)
Biểu thức (1) trở thành $(x+1)(y+1)=4$
$\Leftrightarrow xy+x+y+1=3$
$\Leftrightarrow xy = 3-x-y$ (2)
Bất đẳng thức đã cho viết lại là:
$\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{x})^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{y})^2+1}}\le1$
$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}}\le1$
Để phá bỏ căn ở dưới mẫu ta cần đưa về dạng bình phương của một tổng.
Điều này nhắc chúng ta nên sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(x^2+(\sqrt{3})^2)(1^2+(\sqrt{3})^2) \ge (1.x+(\sqrt{3}).(\sqrt{3}))^2$
$\Leftrightarrow (x^2+3).4 \ge (x+3)^2$
$\Leftrightarrow x^2+3 \ge \frac{(x+3)^2}{4}$ (3)
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
$\Leftrightarrow x = 1$
Tương tự ta có $y^2+3 \ge \frac{(y+3)^2}{4}$ (4)
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$
Áp dụng kết quả (3) và (4) ta có: $VT = \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}} \le \frac{x}{\sqrt{\frac{(x+3)^2}{4}}}+\frac{y}{\sqrt{{\frac{(y+3)^2}{4}}}}$
$=\frac{2x}{x+3}+\frac{2y}{y+3)} = 2\frac{x(y+3)+y(x+3)}{(x+3)(y+3)}$
$=2.\frac{xy+3x+xy+3y}{xy+3x+3y+9}$
$=2.\frac{2xy+3y+3x}{xy+3x+3y+9}$
Sử dụng (2) ta có:
$VT \le 2.\frac{2(3-x-y)+3x+3y}{(3-x-y)+3x+3y+9}$
$=2\frac{6-2x-2y+3x+3y}{12+2x+2y}$
$=2\frac{6+x+y}{12+2x+2y}=1$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ hay $a=b=1$

Bài hệ phương trình hay toán chuyên THCS

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}& \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{y+2x}=1 \\&\frac{4}{\sqrt{y}}-\frac{4}{y+2x}=1\end{aligned}\right.$

Bài Làm:

Điều kiện $x,y > 0 $

Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:

$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{y}} = 2 $ 

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = 1$ (1)

Đặt $y=tx$ (với $t > 0$)

Thay vào (1) ta tính được $\sqrt{x}=1+\frac{2}{\sqrt{t}}$(2)

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình sau theo x:
$x(t+2)-2(t+2)\sqrt{x}-4=0$
Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{x}$. Ta có nghiệm:
$\sqrt{x} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$ (3)

So sánh (2) và (3) ta có:
$ 1+\frac{2}{\sqrt{t}} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$

$\Rightarrow t^2+2t-8=0$
$\Leftrightarrow \begin{align}\left[\begin{array}{ll} t = 2  \\ t = -4 & \text{(loại vì t > 0)}\end{array}\right .\end{align}$

Vậy $ t=2$ thay vào (1) ta tính được $x = 3+2\sqrt{2}$ và $y=tx=2x = 2(3+2\sqrt{2})$
Hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $ (3+2\sqrt{2};2(3+2\sqrt{2}))$

Bài toán tìm số tự nhiên 5 chữ số trong đề thi vào 6 Amsterdam Hà nội

 Đề: 
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho:
$\overline{abcde}=45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }e$

Bài giải:
Gọi X = $\overline{abcde}$

Rõ ràng X chia hết cho 5 nên e=0 hoặc 5. Loại e=0 vì e=0 thì X=0 nhưng giả thiết $a \not = 0$

Vậy $X = \overline{abcd5} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }5 \Rightarrow X$ chia hết cho 25, X phải tận cùng là 00, 25,50,75 

Vì X đã tận cùng 5 nên loại hai trường hợp 00 và 50. X cũng không thể tận cùng là 25 vì $X = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }2\text{ x }5$ là số chẵn mà X đã tận cùng là 5 (là số lẻ). Vậy X phải tận  cùng là 75.

Đến đây ta có $X=\overline{abc75} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }7\text{ x }5$.

$\Leftrightarrow 4\text{ x }\overline{abc} + 3 = 63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c$

Ba số a,b,c lẻ và phải có 1 số nhỏ hơn 4 vì nếu cả 3 số >= 4

Thì $63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c \ge 63 \text{ x } 4^{3} = 4032$

nhưng $4\text{ x }\overline{abc} + 3\le  3999$

Vậy trong 3 số $a,b,c$ phải có số là 1 hoặc 3. Gọi số đó là $x$, hai số còn lại là $y$ và $z$.
Vai trò $y$ và $z$ như nhau nên giả sử $y \le z$

Vì X chia hết cho 9 nên $a+b+c ≡ 6 \pmod 9$

$\Rightarrow  x+y+z ≡ 6 \pmod 9$ (1)

1. Thay x=1  vào  có $y+z ≡ 5 \pmod 9 $

$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 5 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 14 \end{align}\right .$

$\Rightarrow (y;z) \in \{ (5;9),(7;7)\}$
Thử: 

45*1*5*9*7*5 = 70875 (loại)

45*1*7*7*7*5 = 77175  (chấp nhận  với  a=7,b=7,c=1)

2. Thay x=3 vào (1) ta suy ra $y+z ≡ 3 \pmod 9$
$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 3 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 12 \end{align}\right .$

$\Rightarrow (y;z) \in  \{(5;7),(3;9)\}$
Thử: 

45*3*5*7*7*5 = 165375 (loại)

45*3*3*9*7*5 = 127575 (loại)

Đáp số: 77175

Câu 5 a, Thi tuyển lớp 10 2025, môn Toán Chuyên, Quảng Bình

 Đề: 

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:

$(x-y)(x+y)+x^2(1-y)=17-2y$

Bài giải:

$(x-y)(x+y)+x^2(1-y)=17-2y$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)+(x^2-x^2y)+2y=17$

$\Leftrightarrow (2x^2-x^2y)+(2y-y^2)=17$

$\Leftrightarrow x^2(2-y)+y(2-y)=17$

$\Leftrightarrow (x^2+y)(2-y)=17$

Có 4 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1:
$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=1 \\&2-y=17\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=16 \\&y=-15\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y=-15\end{aligned}\right.\\ \left \lbrace \begin{aligned}&x=-4 \\&y=-15\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.$

+ Trường hợp 2:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=17 \\&2-y=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=16 \\&y=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y=1\end{aligned}\right.\\ \left \lbrace \begin{aligned}&x=-4 \\&y=1\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.$

+ Trường hợp 3:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=-1 \\&2-y=-17\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=-20 \\&y=19\end{aligned}\right.$

=> Vô nghiệm vì $x^2 \ge 0 $

+ Trường hợp 4:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=-17 \\&2-y=-11\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=-20 \\&y=3\end{aligned}\right.$

=> Vô nghiệm vì $x^2 \ge 0 $
Như vậy các cặp số nguyên $(x;y)$ cần tìm là $(-4;-15),(4;-15),(-4;1),(4;1)$

Bài tìm nghiệm nguyên lớp 9 hay

 Đề:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $3^x-32=y^2$

Bài giải:

Ta có y chia cho 4 dư 0,1,2,3 suy ra $y^2$ chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Mà 32 chia hết cho 4 nên suy ra $3^x$ chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Ta có $3 \equiv -1 \pmod 4$
$\Rightarrow 3^x \equiv (-1)^x \pmod 4$
$\Rightarrow$ x là số chẵn.
Đặt $x=2k$ (k là số nguyên dương)
Thay vào phương trình đã cho ta có:
$3^{2k}-32=y^2$
$\Leftrightarrow (3^k)^2-y^2=32$

$\Leftrightarrow (3^k-y)(3^k+y)=32$

Vì y, k là các số nguyên dương nên:
$3^k+y > 3^k-y > 1$
Có hai trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp 1:
$\left \lbrace \begin{aligned}&3^k+y=16 \\&3^k-y = 2\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&k=2 \\&y = 7\end{aligned}\right.$

$\Rightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y = 7\end{aligned}\right.$
Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn phương trình đã cho 
+ Trường hợp 2:
$\left \lbrace \begin{aligned}&3^k+y=8 \\&3^k-y = 4\end{aligned}\right.$
Hệ phương trình này không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ nguyên dương là $(4;7)$

Câu 5, Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm 2025, Môn Toán (Chuyên Toán + Chuyên Tin), Long An

 Đề:

Cho n,m  là các số tự nhiên và $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5.

Bài giải:

Đầu tiên ta đi tìm số dư của số tự nhiên a cho 5.
Ta có $a \equiv k \pmod 5$ với k là số tự nhiên thỏa $0\le k \le 4$

Suy ra $a^4  \equiv k^4 \pmod 5$

k	$k^4$	$k^4\ \text{mod}\ 5$
0	0	0
1	1	1
2	16	1
3	81	1
4	256	1

Vậy  $a^4  \equiv 0 \pmod 5$ nếu a chia hết cho 5 và $a^4  \equiv 1 \pmod 5$ nếu a không chia hết cho 5.
Kết hợp giả thiết $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Ta suy ra cả n và m phải chia hết cho 5.
Từ đó ta suy ra $n^{2025}+m^{2025}$ chia hết cho 5. Hay nói cách khác số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5 là 0.

Câu 2 a) Môn Toán, Thi vào lớp 10 chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2025

 Đề:

Cho p là số nguyên tố ; a,b là các số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ và $a+b$ chia hết cho p. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{p}=4$

Bài giải:
Do $a+b$ chia hết cho p nên ta đặt $a+b=pk$ với k là số nguyên dương.
hay $a = pk - b$ .

Ngoài ra $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ 

$\Leftrightarrow p(a+b) = ab$

$\Rightarrow p^2k=ab=(pk-b)b=pkb-b^2$

$\Rightarrow b^2-pkb+p^2k=0$

Giải phương trình bậc hai theo b. Tính $\Delta=(-pk)^2-4(p^2k)=p^2(k^2-4k)$
$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow k \ge 4$ (do k là số nguyên dương)
Do b là số nguyên dương nên $\Delta$ phải là số chính phương $\Rightarrow k^2-4k$ phải là số chính phương
$  k^2-4k + (16-4k)  \le k^2-4k < k^2-4k+4 \Rightarrow (k-4)^2 \le k^2-4k < (k-2)^2$
Vì $k^2-4k$ là số chính phương nên:
$k^2-4k = (k-3)^2 \lor k^2-4k = (k-4)^2$

$\Leftrightarrow k=\frac{9}{2} \lor k = 4$
Do k là số nguyên dương và $k\ge 4$ nên ta chọn $k=4$
Với $k=4$ thì $\Delta =0 $ và $b=2p \Rightarrow a=2p$
Vậy $a+b=4p \Leftrightarrow \frac{a+b}{p}=4$ (đpcm)

Câu 3 b) Môn Toán-Chuyên, Thi vào lớp 10 ĐắkLắk năm 2025

 Đề:

Tìm x,y nguyên dương và số nguyên tố p thỏa $x^5+x^4+1=p^y$

Bài giải:
Ta có: $x^5+x^4+1=p^y$
$(x^3-x+1)(x^2+x+1)=p^y$
$\Rightarrow x^3-x+1 = p^m \land x^2+x+1 = p^n $ (với $m+n=y$ và $m,n \ge 0$)
Nếu $x \ge 3$ thì ta có:
$x^3-x+1 =(x^3-1) - (x-2) = (x-1)(x^2+x+1)-(x-2) > x^2+x+1 $

$\Rightarrow p^m > p^n$ hay $m > n$  suy ra $p^m \ \vdots \ p^n \Rightarrow x^3-x+1\ \vdots\  x^2+x+1$
Mà: $x^3-x+1 =  (x-1)(x^2+x+1)-(x-2) $

Suy ra $x-2 \ \vdots \ x^2+x+1$ (1)
Nhưng với $x \ge 3$ thì $0 < x-2 < x^2+x+1$ (2)
Từ (1) và (2) ta thấy điều vô lý. Vậy $x < 3$
Thay lần lượt x=1 và x=2 vào đẳng thức đã cho ta tìm dược hai bộ số (x,y,p) thỏa mãn đề bài là:
$(1,1,3);(2;2;7)$  

Bài 3, câu 2, Chuyên Toán, Thi tuyển lớp 10 Bình Định năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(\alpha,\beta)$ sao cho $\alpha^2+6\alpha\beta+\beta^2+45$ là một số chính phương

Bài giải:
Do $\alpha$ và $\beta$ là số nguyên tố nên nếu $\alpha > 3$ và $\beta > 3$ thì 

$\alpha^2 \equiv 1 \pmod 3$ và $\beta ^2 \equiv 1 \pmod 3$

$\Rightarrow \alpha^2+6\alpha\beta+\beta^2+45 \equiv 2 \pmod 3$ vô lý vì số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Do đó $\alpha$ và $\beta$ phải có 1 số nhỏ hơn hay bằng 3. Do vai trò như nhau ta giả sử số đó là $\alpha$

☼ Xét  $\alpha = 2 $ biểu thức đã cho thành $\beta^2+12\beta+49$. Mà:
 $\beta^2+12\beta+36<\beta^2+12\beta+49 < \beta^2+14\beta+49$

$\Rightarrow (\beta+6)^2 <\beta^2+12\beta+49< (\beta+7)^2$
Do đó không tồn tại $\beta$ để $\beta^2+12\beta+49$ là số chính phương 

☼ Xét  $\alpha = 3 $ biểu thức đã cho thành $\beta^2+18\beta+54$. Mà:
$\beta^2+14\beta +49 <\beta^2+18\beta+54 < \beta^2+18\beta+81$

$\Rightarrow (\beta+7)^2 < \beta^2+18\beta+54 <(\beta+9)^2$

Mà $\beta^2+18\beta+54$ là số chính phương nên:
$\beta^2+18\beta+54 = (\beta+8)^2$
$\Leftrightarrow \beta=5$
Vậy có hai cặp số nguyên tố $(\alpha,\beta)$ thỏa mãn đề bài là $(3,5);(5;3)$

Bài 3, câu 2, Toán chuyên tin, thi lớp 10 Bình Định năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(\alpha, \beta)$ sao cho $\alpha^2=6\beta^2+1$

Bài giải:

Ta có:$\alpha^2=6\beta^2+1$

$\Leftrightarrow \alpha^2-1=6\beta^2$

$\Leftrightarrow (\alpha-1)(\alpha+1)=6\beta^2$

Do $\alpha-1$ và $\alpha+1$ hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ mà: $6\beta^2$ là số chẵn 

Nên $\alpha-1$ và $\alpha+1$ phải cùng là số chẵn hay $(\alpha-1)(\alpha+1) \ \vdots\ 4$

$\Rightarrow 6\beta^2 \ \vdots\  4$
Từ đây suy ra $\beta^2$ phải là số chẵn 

mà $\beta$ là số nguyên tố nên $\beta=2$

Thay vào biểu thức ban đầu ta tính được $\alpha = 5$

Vậy có 1 cặp số nguyên tố $(\alpha, \beta)$ thỏa mãn đẳng thức đã cho là $(5,2)$

Câu II 1) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

Bài giải:

$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

$\Leftrightarrow (5^2)^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)-[(4^x+1)+(4x^2+3x+3)]5^y=0$

$\Leftrightarrow [(5^y)^2-(4^x+1)5^y]+[(4^x+1)(4x^2+3x+3)-(4x^2+3x+3)5^y]=0$

$\Leftrightarrow 5^y[5^y-(4^x+1)]+(4x^2+3x+3)[(4^x+1)-5^y]=0$

$\Leftrightarrow [5^y-(4^x+1)][5^y-(4x^2+3x+3)]=0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} 5^y-(4^x+1)=0 (1)\\ 5^y-(4x^2+3x+3)=0 (2) \end{aligned}\right.$

• Xét phương trình (1): $(1) \Leftrightarrow 5^y = 4^x+1 (3)$
  Ta có: $4 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 4^x \equiv 1 \pmod 3  \Rightarrow 4^x+1 \equiv 2 \pmod 3$
  Suy ra y phải là số lẻ (vì nếu y là số chẵn thì $5^y \equiv 1 \pmod 3$)
  Đặt $y=2k+1, k=0,1,2,...$, thay vào (3), ta có:
  $5^{2k+1} = 4^x+1 \Leftrightarrow 5.25^k= 4^x+1$
  Vì $25 \equiv 1 \pmod 8 \Rightarrow 5.25^k \equiv 5 \pmod 8$ 
  Nếu $x \ge 2 \Rightarrow 4^x + 1 = 16.4^{x-2} + 1  \equiv 1 \pmod 8$ (vô lý)
  Vậy $x=1 \Rightarrow y=1$ 
• Xét phương trình (2):$(2) \Leftrightarrow 5^y = 4x^2+3x+3 (4)$
  Do $4x^2+3x+3 = x^2 + 3x^2+3x+3 \equiv x^2 \pmod 3 \Rightarrow 5^y \equiv x^2 \pmod 3$ 
  Mà số chính phương thì chia cho 3 dư 0 hoặc 1 suy ra y phải là số chẵn. Đặt $y=2k$
  $(4) \Leftrightarrow 5^{2k}= 4x^2+3x+3$
  $\Leftrightarrow (5^k)^2 = 4x^2+3x+3 $ 
  $\Rightarrow 4x^2+3x+3$ là số chính phương
  Mà $(2x)^2 < 4x^2+3x+3 < 4x^2+3x+3 + 5x+1 $
  $= (2x)^2+2.2x.2+2^2 = (2x+2)^2$
  Suy ra: $4x^2+3x+3 = (2x+1)^2$
  $\Leftrightarrow4x^2+3x+3=4x^2+4x+1$
  $\Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=2$

Vậy các cặp số nguyên dương (x;y) cần tìm là $(1;1),(2;2)$

Câu I 2) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề: 

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy)\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Đánh số các phương trinh trong hệ: 

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 (1) \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy) (2) \end{aligned}\right.$

Ta đi biến đổi phương trình (2) và sử dụng phương trình (1). Lưu ý hằng đẳng thức:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(2)\Leftrightarrow (x^3+y^3)+1+12(x+y)= (x^3+y^3)+7y^3+6xy(y+3-xy) (3)$

$ \text{VP PT (3)} = 8y^3+6xy[y+(x+y-xy)-xy]+x^3$

$=(2y)^3+6xy(2y+x)+x^3$

$=(2y)^3+3.(2y)^2.x+3.(2y).x^2+x^3=(2y+x)^3$

$ \text{VT PT (3)} = [(x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+[3(x+y)^2-3(x+y)^2]+$

$3(x+y)+9(x+y)+1=[(x+y)^3+3.(x+y)^2+3(x+y)+1]-$

$[3x^2y+3xy^2+3(x+y)^2-9(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3[xy(x+y)+(x+y)^2-3(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3(x+y)(xy+x+y-3)=(x+y+1)^3$

Vậy $(3)\Leftrightarrow (2y+x)^3=(x+y+1)^3$

$\Leftrightarrow 2y+x = x+y+1$

$\Leftrightarrow y = 1$

Thay vào (1) ta tìm được $x=1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1;1)$