a. Chứng minh: $\triangle CME = \triangle CMF$
b. Chứng minh: M là trung điểm của EF
c. Kẻ $MH \perp CE$ tại H, $MK \perp CF$ tại K. Chứng minh: $CH = CK$.
d. Chứng minh: $HK // EF$.
e. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng HM, cắt HM tại O. Chứng minh $\triangle MKO$ cân.
Bài giải:
a. Chứng minh: $\triangle CME = \triangle CMF$
$\begin{cases} CE = CF \text{ (do } \triangle CEF \text{ cân tại C)}\\ \widehat{ECM} = \widehat{FCM} \text{ (do CM là tia phân giác)}\\ CM \text{ chung} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CME = \triangle CMF$ (c-g-c) (đpcm)
b.Chứng minh: M là trung điểm của EF
Do $\triangle CME = \triangle CMF$ (chứng minh câu a)
nên $ME = MF$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của EF (đpcm)
c.Chứng minh: $CH = CK$.
Xét hai tam giác vuông CHM và CKM.
Ta có: $\begin{cases} \widehat{HCM} = \widehat{KCM} \text{ (do CM là tia phân giác)}\\ CM \text{ chung} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CHM = \triangle CKM$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow CH = CK$
d. Chứng minh $HK // EF$
$\triangle CEF$ cân tại C, $CM$ là phân giác $\Rightarrow CM$ cũng là đường cao $\Rightarrow CM \perp EF$
$CH = CK \Rightarrow \triangle CHK$ cân tại C $\Rightarrow CM$ cũng là đường cao $\Rightarrow CM \perp HK$
Suy ra $HK // EF$ (đpcm)
e. Chứng minh $\triangle MKO$ cân:
Xét hai tam giác vuông HME và OMF
Ta có:
$\begin{cases} ME = MF \text{ (chứng minh ở câu b)}\\ \widehat{EMH} = \widehat{FMO} \text{ (đối đỉnh)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle HME = \triangle OMF$
$\Rightarrow MH = MO$(1)
Mà: $ \triangle CHM = \triangle CKM$ (chứng minh ở câu c)
$\Rightarrow MH = MK$(2)
Từ (1) và (2) ta có: $MK = MO \Rightarrow \triangle MKO$ cân tại M (đpcm)
