(C2.00017).Toán HSG THCS Giải hệ phương trình

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 8x^3y^3+1 = 9y^3\\2x^2y+x=3y^2\end{cases}$

Bài giải:

Ta đánh số các phương trình trong hệ như sau:

$\begin{cases} 8x^3y^3+1 = 9y^3(1)\\2x^2y+x=3y^2(2)\end{cases}$

$(1) \Leftrightarrow (2xy)^3+1=9x^3$

$\Leftrightarrow (2xy+1)[(2xy)^2-2xy+1]=9y^3$(3)

$(2)\Leftrightarrow x(2xy+1)=3y^2$ (4)
Nếu $x=0$ thì từ (2) suy ra $y=0$ nhưng $x=0;y=0$ không thỏa mãn (1), do đó

$x=0;y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Xét $ x \not=0$ và $y \not= 0$

$(4) \Leftrightarrow 2xy+1=\frac{3y^2}{x}$ (5)

Thay vào (3) ta có:
$\frac{3y^2}{x}[(2xy)^2-2xy+1]=9y^3$
$\Leftrightarrow (2xy)^2-2xy+1 =3xy$
$\Leftrightarrow 4(xy)^2-5xy+1 =0$

Phương trình bậc hai theo $xy$ có hai nghiệm: $xy=1$ và $xy=\frac{1}{4}$

1) Trường hợp 1: $xy=1$

Thay vào (5) ta có $2.1+1=\frac{3y^2}{x}$
$\Leftrightarrow  x=y^2$
Mà $xy=1$ hay $y^3=1\Leftrightarrow y = 1$

Từ $y=1$ ta tính được $x=y^2=1^2=1$

Ta thử lại $x=y=1$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho 
2) Trường hợp 2: $xy=\frac{1}{4}$

Thay vào (5) ta có $2.\frac{1}{4}+1=\frac{3y^2}{x}$
$\Leftrightarrow x=2y^2$
Mà $xy=\frac{1}{4}$ hay $y^3=\frac{1}{8}\Leftrightarrow y = \frac{1}{2}$

Từ $y=\frac{1}{2}$ ta tính được $x=2y^2=2.(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$
Ta thử lại $x=y=\frac{1}{2}$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho 
Vậy tập nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình đã cho là $\{(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),(1;1)\}$

(C2.00016) Toán HSG THCS Tính giá trị biểu thức

 Đề: (Trích Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm 2024-2025 dành cho Thí sinh chuyên Toán, Tin Tỉnh Thái Bình)
Cho x là một số dương thỏa mãn $\frac{x^3+1}{x}=18\sqrt{x}$

Tính giá trị biểu thức $A=\frac{x^2+1}{x}$

Bài giải:

Đặt $t=\sqrt{x}$, do $x>0$ nên $t>0$
Ta có: $\frac{x^3+1}{x}=18\sqrt{x}$
Nhân hai vế với $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 
Ta được:
$\frac{x^3+1}{x\sqrt{x}}=18$
Hay $\frac{(\sqrt{x})^6+1}{(\sqrt{x})^3}=18$
$(\sqrt{x})^3+\frac{1}{(\sqrt{x})^3}=18$

Hay $t^3+\frac{1}{t^3}=18$
Gọi $B=t+\frac{1}{t}$
Thế thì $B^3=t^3+3t^2.\frac{1}{t}+3t.\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^3}=(t^3+\frac{1}{t^3})+3(t+\frac{1}{t})$

hay $B^3=18+3B$
$B^3-3B-18=0$ (1)
Phương trình bậc 3 này có hệ số tự do là -18, ta tiến hành nhẩm nghiệm bằng các ước số của 18 là $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18$
Ta thu được 1 nghiệm $B=3$
Phân tích (1) thành nhân tử $(B-3)(B^2+3B+6)=0$
Phương trình bậc gai $B^2+3B+6=0$ vô nghiệm vì có $\Delta = -15 < 0$
Do đó (1) có nghiệm duy nhất là $B=3$
$A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{(\sqrt{x})^4+1}{(\sqrt{x})^2}$
$=(\sqrt{x})^2+\frac{1}{(\sqrt{x})^2}=t^2+\frac{1}{t^2}$
$=(t+\frac{1}{t})^2-2.t.\frac{1}{t}=B^2-2=3^2-2=7$
Vậy $A=7$

(C2.00015) Toán HSG THCS Phương trình nghiệm nguyên chứa giai thừa

 Đề:

Tìm các số tự nhiên x,y biết: $10!+11!+12!=x^2(y!)$

Bài giải:

Ta có: 

$10!+11!+12!=x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!+10!.11+10!.11.12=x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!(1+11+11.12) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!(12+11.12) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!.12(1+11) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!.12^2 =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 12^2 (10!) =x^2(y!)$ (1)

Ta suy ra $x=12; y=10$

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình.

+ Nếu $y < 10$:
(1) $\Leftrightarrow x^2=12^2(10.9....(y+1))$

$\Rightarrow  10.9....(y+1)$ là số chính phương 
Ta cho y chạy từ 0 đến 9 và không có số nào thỏa mãn 
+ Nếu $y > 10$:
(1) $\Leftrightarrow (11.12...y) x^2=12^2$
Ta thử y=11, y=12 thì không tìm được số tự nhiên x 
Với $y \ge 12$ 
$y \le \frac{12^2}{12.11} < 2$ (vô lí)
Vậy chỉ có $x=12;y=10$ thỏa mãn bài toán đã cho

(GT.00002) Giải trí Toán học: Cách giải các bài toán dạng cho ánh xạ số

 Trên các mạng xã hội chắc bạn không ít một lần gặp bạn mình chia sẻ các bài toán dạng bài toán sau: 
Nếu: 

$9 = 10$

$8=18$

$7=24$

$6=28$

$5=30$

Vậy $3 = ?$

Bài toán này chính là cho một ánh xạ từ tập số tự nhiên vào tập số tự nhiên, bạn phải tìm ra nó để tính giá trị được hỏi. Thường ánh xạ cho là hàm số đa thức (chỉ nói là thường chứ không phải tất cả).
Theo cách tiếp cận này thì để giải bài toán trên ta giả sử ánh xạ cần tìm là:
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ 
Do đề cho 5 số liệu nên ta cần 5 biến.
Sau đó ta đi giải hệ phương trình:
$\left \lbrace \begin{aligned} f(9)=a.9^4+b.9^3+c.9^2+d.9+e=10\\f(8)=a.8^4+b.8^3+c.8^2+d.8+e=18\\f(7)=a.7^4+b.7^3+c.7^2+d.7+e=24\\f(6)=a.6^4+b.6^3+c.6^2+d.6+e=28\\f(5)=a.5^4+b.5^3+c.5^2+d.5+e=30\end{aligned}\right.$
Giải hệ phương trình ta có: $a=0,b=0,c=-1,d=9,e=10$

hay $f(x)=-x^2+9x+10$
Bây giờ: $ 3 = f(3)=-3^2+9.3+10=28$

(C2.00014). Toán HSG THCS Giải phương trình nghiệm nguyên

 Đề:

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn $x^2+2y^2-2xy+2x-6y+1=0$

Bài làm:

Cách 1: Đưa về tổng các bình phương 

Ta có: $x^2+2y^2-2xy+2x-6y+1=0$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy+2x-2y+1)+(y^2-4y+4)=4$

$\Leftrightarrow (x-y+1)^2+(y-2)^2=4$

$\Leftrightarrow (x-y+1)^2=4-(y-2)^2$

$\Leftrightarrow (x-y+1)^2=(4-y)y$ (1)

Từ đây suy ra $(4-y)y \ge 0$

$\Leftrightarrow 0\le y\le4$
Thay lần lượt các giá trị của y từ 0 đến 4 vào (1) để tính x:

y	0	1	2	3	4
x	-1	(*)	{-1;3}	(*)	3

(*) x không là số nguyên nên loại

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là $\{(-1;0),(-1;2),(3;2),(3;4)\}$

Cách 2: Giải phương t rình bậc 2 theo ẩn x. Khi biện luận delta ta sẽ quay về đoạn cuối cách trên.

(C2.00013).Thi HSG THCS Xã Đồng Lộc 2025: Giải phương trình

 Đề:

Giải phương trình $(5x+2025)^3-(2x+2026)^3=(3x-1)^3$

Bài giải:

Đặt $u=5x+2025$ và $v=2x+2026$

Ta có: $u-v=(5x+2025)-(2x+2026)=3x-1$

Ngoài ra $2u-5v=2(5x+2025)-5(2x+2026)=-6080$

Ta có hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned} u^3-v^3=(u-v)^3\\ 2u-5v=-6080\end{aligned}\right.$

$PT1 \Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2)-(u-v)^3=0$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2-(u-v)^2)=0$

$\Leftrightarrow (u-v) 3uv = 0$

$\Leftrightarrow u=v \lor u=0 \lor v=0$

1) $u=v$

Thay vào PT2 ta có $-3v = - 6080$

$\Leftrightarrow v = \frac{6080}{3}$

$\Leftrightarrow 2x+2026 =  \frac{6080}{3}$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Thử lại với $x = \frac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình đã cho

2) $u=0$

$\Leftrightarrow 5x+2025=0$

$\Leftrightarrow x = -405$

Thử lại với $x = -405 $ là nghiệm của phương trình đã cho
3) $v=0$

$\Leftrightarrow 2x+2026 = 0$

$\Leftrightarrow x = -1013$

Thử lại với $x = -1013  $ là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm {-1013;-405;$\frac{1}{3}$}

(C2.00012).Toán HSG THCS Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019-2020

 Đề:

Cho các số thực x,y,a thỏa mãn:$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$

Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$

Bài giải:

Điều kiện: $a \ge 0$

Ta có:$\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x^6}+\sqrt[3]{x^4}\sqrt[3]{y^2}}+\sqrt{\sqrt[3]{y^6}+\sqrt[3]{y^4}\sqrt[3]{x^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{x^4}(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})}+\sqrt{\sqrt[3]{y^4}(\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2})}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}+\sqrt[3]{y^2}\sqrt{\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2}}=a$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}}=a$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3}=a$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3=a^2$  (vì $a\ge 0$)

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$ (đpcm)

(C2.00011). Toán HSG THCS: Chứng minh bất đẳng thức

 Đề:

Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 6.(\frac{1}{5(a+b)+8c}+\frac{1}{5(b+c)+8a}+\frac{1}{5(c+a)+8b})$

Bài giải:

Hướng đi của dạng bài này là đầu tiên ta cần phân tích: 
$5(a+b)+8c = x(2a+b)+y(2b+c)+z(2c+a)$
Bằng cách giải phương trình ta tìm ra $x=1,y=2,z=3$

Do đó nếu đặt $u=2a+b, v=2b+c, t=2c+a$ thì bất đẳng thức đã cho thành:

$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t}\ge6.(\frac{1}{u+2v+3t}+\frac{1}{v+2t+3u}+\frac{1}{t+2u+3v})$ (*)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng: $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge\frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2}$

Ta có: $\frac{1}{u}+\frac{2^2}{2v}+\frac{3^2}{3t} \ge \frac{(1+2+3)^2}{u+2v+3t}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u}+\frac{4}{2v}+\frac{9}{3t}\ge \frac{36}{u+2v+3t}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6}(\frac{1}{u}+\frac{2}{v}+\frac{3}{t}) \ge 6.\frac{1}{u+2v+3t}$ (1)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{1}{6}(\frac{3}{u}+\frac{1}{v}+\frac{2}{t}) \ge 6.\frac{1}{v+2t+3u}$ (2)

$ \frac{1}{6}(\frac{2}{u}+\frac{3}{v}+\frac{1}{t}) \ge 6.\frac{1}{t+2u+3v}$ (3)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (1),(2), (3) ta thu được (*)

Dấu "=" xảy ra ở (1) khi và chỉ khi $\frac{1}{u}=\frac{2}{2v}=\frac{3}{3t}$

hay $u=v=t$. Điều kiện này thì đẳng thức (2)và (3) cũng xảy ra.

Vậy dấu "=" ở (*) xảy ra khi và chỉ khi $u=v=t$ hay $a=b=c$

Một số đề tương tự:

1. Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 10.(\frac{1}{9a+5b+16c}+\frac{1}{9b+5c+16a}+\frac{1}{9c+5a+16b})$

2. Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge 30.(\frac{1}{26a+11b+53c}+\frac{1}{26b+11c+53a}+\frac{1}{26c+11a+53b})$

(C2.00010). Thi HSG THCS xã Đô Lương (2025): Tính giá trị biểu thức

 Đề:

Cho a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn:$a^2+3a=b^2+3b$. Tính $T=a^3+b^3-9ab$

Bài giải:

Từ: $a^2+3a=b^2+3b$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)+(3a-3b)=0$

$\Leftrightarrow(a+b)(a-b)+3(a-b)=0$

$(a-b)(a+b+3)=0$(1)

Do $a \not = b$ nên $(1) \Leftrightarrow a+b+3=0$

$\Leftrightarrow a+b=-3$ (2)

Ta có: $T=a^3+b^3-9ab=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2-9ab=(a+b)^3-3ab(a+b)-9ab$(3)

Thay (2) vào (3) ta có:

$T=(-3)^3-3ab(-3)-9ab=-27+9ab-9ab=-27$

Vậy $T=-27$