Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

Đề:
Cho $a,b,c \ge 0 $ thỏa mãn:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Tính $P = (a+1)(b+1)(c+1)$

Bài giải:
Từ:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Cộng vế theo vế 3 đẳng thức ta có:
$a^3+1+b^3+1+c^3+1=a^2+b^2+c^2+a+b+c$
$\Leftrightarrow (a^3-a^2-a+1)+(b^3-b^2-b+1)+(c^3-c^2-c+1)=0$
$\Leftrightarrow (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2=0$ (1)
Vì $a \ge 0$ nên $ a+1 > 0$
Do đó $(a+1)(a-1)^2 \ge 0$ Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Tương tự $(b+1)(b-1)^2 \ge 0$ và $(c+1)(c-1)^2 \ge 0$
Suy ra $ (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2 \ge 0 $ (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra $a=b=c=1$
Vậy $P = (a+1)(b+1)(c+1) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8$
Đáp số: $P=8$

HSG THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}\ge 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Bài giải:
Ta chứng minh với hai số thực $x,y>0$ thì:
$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$ (1)
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y}}{\sqrt{y}.\sqrt{y}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge x.\sqrt{y}+y.\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow (x.\sqrt{x} - x.\sqrt{y})+ (y.\sqrt{y} - y.\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow x.(\sqrt{x}-\sqrt{y})+y.(\sqrt{y}-\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \ge 0 $ (2)
Do $x-y$ và $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ luôn cùng dấu nên (2) đúng.
$ Vậy (1) đúng$
Dấu "=" xảy ra khi "x = y"
Lần lượt áp dụng (1) cho các cặp số sau:

• a và c: $\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{c}$ (3)
• c và b: $\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{c}+\sqrt{b}$ (4)
• b và a: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\ge \sqrt{b}+\sqrt{a}$ (5)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (3),(4),(5) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi "$a=b=c$"

Toán THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b > 0; (a+1)(b+1)=4ab
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt{3a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+1}}\le1$

Bài giải:
Ta có:
$(a+1)(b+1)=4ab \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=4$ (1)
Đến đây bài toán gợi ý chúng ta đổi biến. Ta đặt: $x=\frac{1}{a}$ và $y=\frac{1}{b}$ (x,y>0)
Biểu thức (1) trở thành $(x+1)(y+1)=4$
$\Leftrightarrow xy+x+y+1=3$
$\Leftrightarrow xy = 3-x-y$ (2)
Bất đẳng thức đã cho viết lại là:
$\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{x})^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{y})^2+1}}\le1$
$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}}\le1$
Để phá bỏ căn ở dưới mẫu ta cần đưa về dạng bình phương của một tổng.
Điều này nhắc chúng ta nên sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(x^2+(\sqrt{3})^2)(1^2+(\sqrt{3})^2) \ge (1.x+(\sqrt{3}).(\sqrt{3}))^2$
$\Leftrightarrow (x^2+3).4 \ge (x+3)^2$
$\Leftrightarrow x^2+3 \ge \frac{(x+3)^2}{4}$ (3)
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
$\Leftrightarrow x = 1$
Tương tự ta có $y^2+3 \ge \frac{(y+3)^2}{4}$ (4)
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$
Áp dụng kết quả (3) và (4) ta có: $VT = \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}} \le \frac{x}{\sqrt{\frac{(x+3)^2}{4}}}+\frac{y}{\sqrt{{\frac{(y+3)^2}{4}}}}$
$=\frac{2x}{x+3}+\frac{2y}{y+3)} = 2\frac{x(y+3)+y(x+3)}{(x+3)(y+3)}$
$=2.\frac{xy+3x+xy+3y}{xy+3x+3y+9}$
$=2.\frac{2xy+3y+3x}{xy+3x+3y+9}$
Sử dụng (2) ta có:
$VT \le 2.\frac{2(3-x-y)+3x+3y}{(3-x-y)+3x+3y+9}$
$=2\frac{6-2x-2y+3x+3y}{12+2x+2y}$
$=2\frac{6+x+y}{12+2x+2y}=1$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ hay $a=b=1$

Bài hệ phương trình hay toán chuyên THCS

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}& \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{y+2x}=1 \\&\frac{4}{\sqrt{y}}-\frac{4}{y+2x}=1\end{aligned}\right.$

Bài Làm:

Điều kiện $x,y > 0 $

Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:

$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{y}} = 2 $ 

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = 1$ (1)

Đặt $y=tx$ (với $t > 0$)

Thay vào (1) ta tính được $\sqrt{x}=1+\frac{2}{\sqrt{t}}$(2)

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình sau theo x:
$x(t+2)-2(t+2)\sqrt{x}-4=0$
Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{x}$. Ta có nghiệm:
$\sqrt{x} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$ (3)

So sánh (2) và (3) ta có:
$ 1+\frac{2}{\sqrt{t}} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$

$\Rightarrow t^2+2t-8=0$
$\Leftrightarrow \begin{align}\left[\begin{array}{ll} t = 2  \\ t = -4 & \text{(loại vì t > 0)}\end{array}\right .\end{align}$

Vậy $ t=2$ thay vào (1) ta tính được $x = 3+2\sqrt{2}$ và $y=tx=2x = 2(3+2\sqrt{2})$
Hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $ (3+2\sqrt{2};2(3+2\sqrt{2}))$

Bài toán tìm số tự nhiên 5 chữ số trong đề thi vào 6 Amsterdam Hà nội

 Đề: 
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho:
$\overline{abcde}=45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }e$

Bài giải:
Gọi X = $\overline{abcde}$

Rõ ràng X chia hết cho 5 nên e=0 hoặc 5. Loại e=0 vì e=0 thì X=0 nhưng giả thiết $a \not = 0$

Vậy $X = \overline{abcd5} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }5 \Rightarrow X$ chia hết cho 25, X phải tận cùng là 00, 25,50,75 

Vì X đã tận cùng 5 nên loại hai trường hợp 00 và 50. X cũng không thể tận cùng là 25 vì $X = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }2\text{ x }5$ là số chẵn mà X đã tận cùng là 5 (là số lẻ). Vậy X phải tận  cùng là 75.

Đến đây ta có $X=\overline{abc75} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }7\text{ x }5$.

$\Leftrightarrow 4\text{ x }\overline{abc} + 3 = 63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c$

Ba số a,b,c lẻ và phải có 1 số nhỏ hơn 4 vì nếu cả 3 số >= 4

Thì $63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c \ge 63 \text{ x } 4^{3} = 4032$

nhưng $4\text{ x }\overline{abc} + 3\le  3999$

Vậy trong 3 số $a,b,c$ phải có số là 1 hoặc 3. Gọi số đó là $x$, hai số còn lại là $y$ và $z$.
Vai trò $y$ và $z$ như nhau nên giả sử $y \le z$

Vì X chia hết cho 9 nên $a+b+c ≡ 6 \pmod 9$

$\Rightarrow  x+y+z ≡ 6 \pmod 9$ (1)

1. Thay x=1  vào  có $y+z ≡ 5 \pmod 9 $

$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 5 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 14 \end{align}\right .$

$\Rightarrow (y;z) \in \{ (5;9),(7;7)\}$
Thử: 

45*1*5*9*7*5 = 70875 (loại)

45*1*7*7*7*5 = 77175  (chấp nhận  với  a=7,b=7,c=1)

2. Thay x=3 vào (1) ta suy ra $y+z ≡ 3 \pmod 9$
$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 3 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 12 \end{align}\right .$

$\Rightarrow (y;z) \in  \{(5;7),(3;9)\}$
Thử: 

45*3*5*7*7*5 = 165375 (loại)

45*3*3*9*7*5 = 127575 (loại)

Đáp số: 77175

Câu 5 a, Thi tuyển lớp 10 2025, môn Toán Chuyên, Quảng Bình

 Đề: 

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:

$(x-y)(x+y)+x^2(1-y)=17-2y$

Bài giải:

$(x-y)(x+y)+x^2(1-y)=17-2y$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)+(x^2-x^2y)+2y=17$

$\Leftrightarrow (2x^2-x^2y)+(2y-y^2)=17$

$\Leftrightarrow x^2(2-y)+y(2-y)=17$

$\Leftrightarrow (x^2+y)(2-y)=17$

Có 4 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1:
$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=1 \\&2-y=17\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=16 \\&y=-15\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y=-15\end{aligned}\right.\\ \left \lbrace \begin{aligned}&x=-4 \\&y=-15\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.$

+ Trường hợp 2:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=17 \\&2-y=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=16 \\&y=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y=1\end{aligned}\right.\\ \left \lbrace \begin{aligned}&x=-4 \\&y=1\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.$

+ Trường hợp 3:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=-1 \\&2-y=-17\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=-20 \\&y=19\end{aligned}\right.$

=> Vô nghiệm vì $x^2 \ge 0 $

+ Trường hợp 4:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=-17 \\&2-y=-11\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=-20 \\&y=3\end{aligned}\right.$

=> Vô nghiệm vì $x^2 \ge 0 $
Như vậy các cặp số nguyên $(x;y)$ cần tìm là $(-4;-15),(4;-15),(-4;1),(4;1)$

Bài tìm nghiệm nguyên lớp 9 hay

 Đề:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $3^x-32=y^2$

Bài giải:

Ta có y chia cho 4 dư 0,1,2,3 suy ra $y^2$ chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Mà 32 chia hết cho 4 nên suy ra $3^x$ chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Ta có $3 \equiv -1 \pmod 4$
$\Rightarrow 3^x \equiv (-1)^x \pmod 4$
$\Rightarrow$ x là số chẵn.
Đặt $x=2k$ (k là số nguyên dương)
Thay vào phương trình đã cho ta có:
$3^{2k}-32=y^2$
$\Leftrightarrow (3^k)^2-y^2=32$

$\Leftrightarrow (3^k-y)(3^k+y)=32$

Vì y, k là các số nguyên dương nên:
$3^k+y > 3^k-y > 1$
Có hai trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp 1:
$\left \lbrace \begin{aligned}&3^k+y=16 \\&3^k-y = 2\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&k=2 \\&y = 7\end{aligned}\right.$

$\Rightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y = 7\end{aligned}\right.$
Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn phương trình đã cho 
+ Trường hợp 2:
$\left \lbrace \begin{aligned}&3^k+y=8 \\&3^k-y = 4\end{aligned}\right.$
Hệ phương trình này không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ nguyên dương là $(4;7)$

Câu 5, Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm 2025, Môn Toán (Chuyên Toán + Chuyên Tin), Long An

 Đề:

Cho n,m  là các số tự nhiên và $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5.

Bài giải:

Đầu tiên ta đi tìm số dư của số tự nhiên a cho 5.
Ta có $a \equiv k \pmod 5$ với k là số tự nhiên thỏa $0\le k \le 4$

Suy ra $a^4  \equiv k^4 \pmod 5$

k	$k^4$	$k^4\ \text{mod}\ 5$
0	0	0
1	1	1
2	16	1
3	81	1
4	256	1

Vậy  $a^4  \equiv 0 \pmod 5$ nếu a chia hết cho 5 và $a^4  \equiv 1 \pmod 5$ nếu a không chia hết cho 5.
Kết hợp giả thiết $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Ta suy ra cả n và m phải chia hết cho 5.
Từ đó ta suy ra $n^{2025}+m^{2025}$ chia hết cho 5. Hay nói cách khác số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5 là 0.

Câu 2 a) Môn Toán, Thi vào lớp 10 chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2025

 Đề:

Cho p là số nguyên tố ; a,b là các số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ và $a+b$ chia hết cho p. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{p}=4$

Bài giải:
Do $a+b$ chia hết cho p nên ta đặt $a+b=pk$ với k là số nguyên dương.
hay $a = pk - b$ .

Ngoài ra $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ 

$\Leftrightarrow p(a+b) = ab$

$\Rightarrow p^2k=ab=(pk-b)b=pkb-b^2$

$\Rightarrow b^2-pkb+p^2k=0$

Giải phương trình bậc hai theo b. Tính $\Delta=(-pk)^2-4(p^2k)=p^2(k^2-4k)$
$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow k \ge 4$ (do k là số nguyên dương)
Do b là số nguyên dương nên $\Delta$ phải là số chính phương $\Rightarrow k^2-4k$ phải là số chính phương
$  k^2-4k + (16-4k)  \le k^2-4k < k^2-4k+4 \Rightarrow (k-4)^2 \le k^2-4k < (k-2)^2$
Vì $k^2-4k$ là số chính phương nên:
$k^2-4k = (k-3)^2 \lor k^2-4k = (k-4)^2$

$\Leftrightarrow k=\frac{9}{2} \lor k = 4$
Do k là số nguyên dương và $k\ge 4$ nên ta chọn $k=4$
Với $k=4$ thì $\Delta =0 $ và $b=2p \Rightarrow a=2p$
Vậy $a+b=4p \Leftrightarrow \frac{a+b}{p}=4$ (đpcm)

Câu 3 b) Môn Toán-Chuyên, Thi vào lớp 10 ĐắkLắk năm 2025

 Đề:

Tìm x,y nguyên dương và số nguyên tố p thỏa $x^5+x^4+1=p^y$

Bài giải:
Ta có: $x^5+x^4+1=p^y$
$(x^3-x+1)(x^2+x+1)=p^y$
$\Rightarrow x^3-x+1 = p^m \land x^2+x+1 = p^n $ (với $m+n=y$ và $m,n \ge 0$)
Nếu $x \ge 3$ thì ta có:
$x^3-x+1 =(x^3-1) - (x-2) = (x-1)(x^2+x+1)-(x-2) > x^2+x+1 $

$\Rightarrow p^m > p^n$ hay $m > n$  suy ra $p^m \ \vdots \ p^n \Rightarrow x^3-x+1\ \vdots\  x^2+x+1$
Mà: $x^3-x+1 =  (x-1)(x^2+x+1)-(x-2) $

Suy ra $x-2 \ \vdots \ x^2+x+1$ (1)
Nhưng với $x \ge 3$ thì $0 < x-2 < x^2+x+1$ (2)
Từ (1) và (2) ta thấy điều vô lý. Vậy $x < 3$
Thay lần lượt x=1 và x=2 vào đẳng thức đã cho ta tìm dược hai bộ số (x,y,p) thỏa mãn đề bài là:
$(1,1,3);(2;2;7)$  

Bài 3, câu 2, Chuyên Toán, Thi tuyển lớp 10 Bình Định năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(\alpha,\beta)$ sao cho $\alpha^2+6\alpha\beta+\beta^2+45$ là một số chính phương

Bài giải:
Do $\alpha$ và $\beta$ là số nguyên tố nên nếu $\alpha > 3$ và $\beta > 3$ thì 

$\alpha^2 \equiv 1 \pmod 3$ và $\beta ^2 \equiv 1 \pmod 3$

$\Rightarrow \alpha^2+6\alpha\beta+\beta^2+45 \equiv 2 \pmod 3$ vô lý vì số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Do đó $\alpha$ và $\beta$ phải có 1 số nhỏ hơn hay bằng 3. Do vai trò như nhau ta giả sử số đó là $\alpha$

☼ Xét  $\alpha = 2 $ biểu thức đã cho thành $\beta^2+12\beta+49$. Mà:
 $\beta^2+12\beta+36<\beta^2+12\beta+49 < \beta^2+14\beta+49$

$\Rightarrow (\beta+6)^2 <\beta^2+12\beta+49< (\beta+7)^2$
Do đó không tồn tại $\beta$ để $\beta^2+12\beta+49$ là số chính phương 

☼ Xét  $\alpha = 3 $ biểu thức đã cho thành $\beta^2+18\beta+54$. Mà:
$\beta^2+14\beta +49 <\beta^2+18\beta+54 < \beta^2+18\beta+81$

$\Rightarrow (\beta+7)^2 < \beta^2+18\beta+54 <(\beta+9)^2$

Mà $\beta^2+18\beta+54$ là số chính phương nên:
$\beta^2+18\beta+54 = (\beta+8)^2$
$\Leftrightarrow \beta=5$
Vậy có hai cặp số nguyên tố $(\alpha,\beta)$ thỏa mãn đề bài là $(3,5);(5;3)$

Bài 3, câu 2, Toán chuyên tin, thi lớp 10 Bình Định năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(\alpha, \beta)$ sao cho $\alpha^2=6\beta^2+1$

Bài giải:

Ta có:$\alpha^2=6\beta^2+1$

$\Leftrightarrow \alpha^2-1=6\beta^2$

$\Leftrightarrow (\alpha-1)(\alpha+1)=6\beta^2$

Do $\alpha-1$ và $\alpha+1$ hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ mà: $6\beta^2$ là số chẵn 

Nên $\alpha-1$ và $\alpha+1$ phải cùng là số chẵn hay $(\alpha-1)(\alpha+1) \ \vdots\ 4$

$\Rightarrow 6\beta^2 \ \vdots\  4$
Từ đây suy ra $\beta^2$ phải là số chẵn 

mà $\beta$ là số nguyên tố nên $\beta=2$

Thay vào biểu thức ban đầu ta tính được $\alpha = 5$

Vậy có 1 cặp số nguyên tố $(\alpha, \beta)$ thỏa mãn đẳng thức đã cho là $(5,2)$

Câu II 1) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

Bài giải:

$25^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

$\Leftrightarrow (5^2)^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)-[(4^x+1)+(4x^2+3x+3)]5^y=0$

$\Leftrightarrow [(5^y)^2-(4^x+1)5^y]+[(4^x+1)(4x^2+3x+3)-(4x^2+3x+3)5^y]=0$

$\Leftrightarrow 5^y[5^y-(4^x+1)]+(4x^2+3x+3)[(4^x+1)-5^y]=0$

$\Leftrightarrow [5^y-(4^x+1)][5^y-(4x^2+3x+3)]=0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} 5^y-(4^x+1)=0 (1)\\ 5^y-(4x^2+3x+3)=0 (2) \end{aligned}\right.$

• Xét phương trình (1): $(1) \Leftrightarrow 5^y = 4^x+1 (3)$
  Ta có: $4 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 4^x \equiv 1 \pmod 3  \Rightarrow 4^x+1 \equiv 2 \pmod 3$
  Suy ra y phải là số lẻ (vì nếu y là số chẵn thì $5^y \equiv 1 \pmod 3$)
  Đặt $y=2k+1, k=0,1,2,...$, thay vào (3), ta có:
  $5^{2k+1} = 4^x+1 \Leftrightarrow 5.25^k= 4^x+1$
  Vì $25 \equiv 1 \pmod 8 \Rightarrow 5.25^k \equiv 5 \pmod 8$ 
  Nếu $x \ge 2 \Rightarrow 4^x + 1 = 16.4^{x-2} + 1  \equiv 1 \pmod 8$ (vô lý)
  Vậy $x=1 \Rightarrow y=1$ 
• Xét phương trình (2):$(2) \Leftrightarrow 5^y = 4x^2+3x+3 (4)$
  Do $4x^2+3x+3 = x^2 + 3x^2+3x+3 \equiv x^2 \pmod 3 \Rightarrow 5^y \equiv x^2 \pmod 3$ 
  Mà số chính phương thì chia cho 3 dư 0 hoặc 1 suy ra y phải là số chẵn. Đặt $y=2k$
  $(4) \Leftrightarrow 5^{2k}= 4x^2+3x+3$
  $\Leftrightarrow (5^k)^2 = 4x^2+3x+3 $ 
  $\Rightarrow 4x^2+3x+3$ là số chính phương
  Mà $(2x)^2 < 4x^2+3x+3 < 4x^2+3x+3 + 5x+1 $
  $= (2x)^2+2.2x.2+2^2 = (2x+2)^2$
  Suy ra: $4x^2+3x+3 = (2x+1)^2$
  $\Leftrightarrow4x^2+3x+3=4x^2+4x+1$
  $\Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=2$

Vậy các cặp số nguyên dương (x;y) cần tìm là $(1;1),(2;2)$

Câu I 2) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề: 

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy)\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Đánh số các phương trinh trong hệ: 

$\left \lbrace \begin{aligned}&x+y+xy=3 (1) \\&1+12(x+y)= 7y^3+6xy(y+3-xy) (2) \end{aligned}\right.$

Ta đi biến đổi phương trình (2) và sử dụng phương trình (1). Lưu ý hằng đẳng thức:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(2)\Leftrightarrow (x^3+y^3)+1+12(x+y)= (x^3+y^3)+7y^3+6xy(y+3-xy) (3)$

$ \text{VP PT (3)} = 8y^3+6xy[y+(x+y-xy)-xy]+x^3$

$=(2y)^3+6xy(2y+x)+x^3$

$=(2y)^3+3.(2y)^2.x+3.(2y).x^2+x^3=(2y+x)^3$

$ \text{VT PT (3)} = [(x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+[3(x+y)^2-3(x+y)^2]+$

$3(x+y)+9(x+y)+1=[(x+y)^3+3.(x+y)^2+3(x+y)+1]-$

$[3x^2y+3xy^2+3(x+y)^2-9(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3[xy(x+y)+(x+y)^2-3(x+y)]$

$=(x+y+1)^3-3(x+y)(xy+x+y-3)=(x+y+1)^3$

Vậy $(3)\Leftrightarrow (2y+x)^3=(x+y+1)^3$

$\Leftrightarrow 2y+x = x+y+1$

$\Leftrightarrow y = 1$

Thay vào (1) ta tìm được $x=1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1;1)$

Câu 3a, Thi tuyển lớp 10 chuyên, Đại học khoa học năm học 2025-2026

Đề:

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y,z thỏa: $x^2-9y^2+10=3^z$
Bài giải:

$x^2-9y^2+10=3^z$

$\Leftrightarrow (x^2+1) -9y^2+9=3^z$

Nếu $z \ge 1$ thì $3^z \vdots 3$

và $-9y^2\vdots3 \land 9\vdots 3$

Suy ra $x^2+1 \vdots 3$

+ Xét $x=3k$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2 \Rightarrow x^2+1=9k^2+1$ không chia hết cho 3

+ Xét $x=3k+1$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2+6k+1 \Rightarrow x^2+1=9k^2+6k+2=3p-1$ không chia hết cho 3

+ Xét $x=3k-1$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2-6k+1 \Rightarrow x^2+1=9k^2-6k+2=3p-1$ không chia hết cho 3

Do đó không thể tồn tại x để $x^2+1 \vdots 3$

Vậy $z=0$

Phương trình đã cho thành $x^2-9y^2+10=3^0$
$\Leftrightarrow x^2-9y^2+10=1$

$\Leftrightarrow x^2-9y^2+9=0$

Từ đây ta suy ra $x^2\vdots3$ 

nên x có dạng $x=3k$

$9k^2-9y^2+9 =0 $

 $\Leftrightarrow k^2-y^2+1 =0 $

$\Leftrightarrow y^2-k^2 = 1$

$\Leftrightarrow (y-k)(y+k)=1$

$\Rightarrow y-k = 1 \land  y+k =1$

$ \Rightarrow y=1 \land k = 0$

$ \Rightarrow y=1 \land x= 0$

Thử lại bộ (0;1;0) thấy thỏa mãn 

Vậy x=0, y=1, z=0 

Bài 3, Thi tin học trẻ Long An năm 2025

 Đề:

Bài giải:

Giải thuật, xây dựng cây tam phân từ các nút lá (chứa giá trị của mảng dữ liệu nhập) lên nút gốc. 
Code Python

from typing import List, Optional
class Node:
    def __init__(self, index=None, value=None, one=None, second=None,third=None):
        self.one = one
        self.second = second
        self.third = third
        if value == None:
            if third == None:
                self.value = one.value + second.value
                if second.value >= one.value:
                    self.index = second.index
                else:
                    self.index = one.index
            else:
                if second.value >= one.value:
                    topNode = second
                    runNode = one
                else:
                    topNode = one
                    runNode = second
                if third.value >= topNode.value:
                    runNode = topNode
                    topNode = third
                else:
                    if third.value >= runNode.value:
                       runNode = third
                self.index = topNode.index
                self.value = topNode.value + runNode.value 
        else:
            self.value = value
            self.index = index

def build_tree_from_array(arr: List[int]) -> Optional[Node]:
    nodes = [Node(index=index+1,value=val) for index,val in enumerate(arr)]

    while len(nodes) > 1:
        new_nodes = []
        i = 0
        numberOfNode = len(nodes)
        while i < numberOfNode:
            one = nodes[i]
            second = nodes[i + 1]
            if (numberOfNode % 2 == 1) and (i == numberOfNode - 3):
                third = nodes[i + 2]
                i += 3
            else:
                third = None
                i += 2
            parent = Node(index=None,value=None, one=one, second=second, third=third)
            new_nodes.append(parent)
            
        nodes = new_nodes
        numberOfNode = len(nodes)
    
    return nodes[0] if nodes else None

if __name__ == "__main__":
    arr = [12,12, 13, 12, 15,11,12,14,12,13,13]
    root = build_tree_from_array(arr)
    print(root.index)
    print(root.value)
   

Phần nhập, xuất dữ liệu mình chưa làm nha.

Câu 2b, thi tuyển lớp 10 chuyên Bạc Liêu, năm học 2025-2026

 Đề:

Cho a,b,c dương thỏa $abc(a+b+c)=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S=\frac{a^6}{a^4+3b^4}+\frac{b^6}{b^6+3c^6}+\frac{c^6}{c^6+3a^6}$

Lời giải:

Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp cho biểu thức dưới mẫu vì ngược chiều bất đẳng thức, do đó ta phải biến đổi: 
$S=\frac{a^6}{a^4+3b^4}+\frac{b^6}{b^6+3c^6}+\frac{c^6}{c^6+3a^6}$

$=a^2-\frac{3a^2b^4}{a^4+3b^4}+b^2-\frac{3b^2c^4}{b^6+3c^6}+c^2-\frac{3c^2a^4}{c^6+3a^6}$

Ta có:

$a^4+3b^4 = a^4+b^4+b^4+b^4 \ge 4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.b^4}$ (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b)

$\Rightarrow a^4+3b^4 \ge 4ab^3$

$\Rightarrow \frac{3a^2b^4}{a^4+3b^4} \le \frac{3a^2b^4}{4ab^3}=\frac{3}{4}ab \le \frac{3}{4} \frac{a^2+b^2}{2} =\frac{3}{8}(a^2+b^2)$

 (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b)

Tương tự ta có:

$\frac{3b^2c^4}{b^6+3c^6} \le \frac{3}{8}(b^2+c^2)$  (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b=c)

$\frac{3c^2a^4}{c^6+3a^6} \le  \frac{3}{8}(c^2+a^2)$ (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi c=a)

Từ đây ta có:

$ S =a^2-\frac{3a^2b^4}{a^4+3b^4}+b^2-\frac{3b^2c^4}{b^6+3c^6}+c^2-\frac{3c^2a^4}{c^6+3a^6}$

$\ge a^2-\frac{3}{8}(a^2+b^2)+b^2-\frac{3}{8}(b^2+c^2)+c^2-\frac{3}{8}(c^2+a^2)$

$=\frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)$
(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c)
Ngoài ra ta có:
$a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2$ và $(a^2+b^2+c^2)^3 \ge 3^3 (abc)^2$

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c)
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^4 \ge 3^2 [abc (a+b+c)]^2 =3^2$

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$)

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3}$

Vậy $S \ge \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{\sqrt{3}}{4}$
$S_\text{min}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Bài II.2) Đề chọn học sinh giỏi THCS quận Hoàn Kiếm năm học 2023-2024

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $(x^2+3)y^2-y^3+2x^2=2y(2x^2-1)+3$

Bài giải:

$(x^2+3)y^2-y^3+2x^2=2y(2x^2-1)+3$

$\Leftrightarrow x^2y^2+3y^2-y^3+2x^2=4yx^2-2y+3$

$\Leftrightarrow x^2y^2-4yx^2+2x^2=y^3-3y^2-2y+3$

$\Leftrightarrow (y^2-4y+2)x^2=y^3-3y^2-2y+3 (1)$

Vì $y^2-4y+2 \ne 0  \forall y \in Z$ (hai nghiệm là số vô tỉ)

Nên $(1) \Leftrightarrow x^2 = \frac{y^3-3y^2-2y+3}{y^2-4y+2}$

$\Leftrightarrow x^2 = y+1 + \frac{1}{y^2-4y+2} (2)$ 

Vì $ x^2 \in Z \Rightarrow 1 \vdots y^2-4y+2 \Rightarrow y^2-4y+2 = 1 \lor y^2-4y+2 = -1$

* Xét $y^2-4y+2 = 1$

$\Leftrightarrow y^2-4y+1 = 0$ 

Giải phương trình bậc 2 này ta có hai nghiệm y: $2-\sqrt{3}$ và $2+\sqrt{3}$ không phải là số nguyên

* Xét $y^2-4y+2 = -1$

$\Leftrightarrow y^2-4y+3 = 0$ 

Phương trình có 2 nghiệm $y=1$ và $y=3$

+ y = 1, thay vào (2) ta có $x^2=1+1-1$

$\Leftrightarrow x^2=1$

$\Leftrightarrow x=\pm1$

+ y =3, thay vào (2) ta có $x^2=3+1-1$

 $x^2=3+1-1$

$\Leftrightarrow x^2=3$

$\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}$ (loại vì $x \in Z$)

Vậy các bộ số $(x;y)$ cần tìm là $(1;1), (-1;1)$

00:6

2025-08-30

Câu 3b, Thi lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, năm học 2024-2025

 Đề:

Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn $(a+1)(b+1)(c+1)=3abc$
Bài giải:

Do vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử $a \ge b \ge c$, điều này có nghĩa là nếu ta tìm ra đáp số $(a_0;b_0;c_0)$ thì tất cả các hoán vị của bộ này : $(a_0;c_0;b_0),(b_0;a_0;c_0),(b_0;c_0;a_0),(c_0;a_0;b_0),(c_0;b_0;a_0)$ cũng thỏa mãn đẳng thức đã cho.  

Ta có:

$(a+1)(b+1)(c+1)=3abc$

$\Leftrightarrow \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=3$

$\Leftrightarrow (\frac{a+1}{a})(\frac{b+1}{b})(\frac{c+1}{c})=3$

$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=3 (1) $

Từ  $a \ge b \ge c$

$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b} \le \frac{1}{c}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b} \le 1+\frac{1}{c}$

$\Rightarrow 3=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \le (1+\frac{1}{c})^3$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{c} \ge \sqrt[3]{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{c} \ge \sqrt[3]{3} -1 $

$\Rightarrow c  \le \frac{1}{\sqrt[3]{3} -1} < 2.3 $

Do c là số nguyên dương nên $c=1$ hoặc $c=2$

+ Xét c=1 

Thay c =1 vào (1) ta có:

$ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{1})=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})2=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=\frac{3}{2} $

Từ  $a \ge b $

$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \le (1+\frac{1}{b})^2$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{b} \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt{\frac{3}{2}} -1 $

$\Rightarrow b  \le \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}} -1} < 4.5 $

Do b là số nguyên dương nên b=1,2,3,4 

* b = 1, thay c=1,b=1 vào biểu thức ban đầu ta có:

 $(a+1)(1+1)(1+1)=3a.1.1$ 

$\Rightarrow 4(a+1)=3a$

$\Rightarrow a=-4$ (loại khả năng này vì a nguyên dương)

* b = 2, thay c=1, b=2 vào biểu thức ban đầu ta có:

 $(a+1)(2+1)(1+1)=3a.2.1$ 

$\Rightarrow 6(a+1)=6a$ 

$\Rightarrow 6=0$ (vô lý, loại khả năng này) 

* b = 3, thay c=1, b=3 vào biểu thức ban đầu ta có:

 $(a+1)(3+1)(1+1)=3a.3.1$ 

$\Rightarrow 8(a+1)=9a$

$\Rightarrow a=8 $ (thỏa điều kiện)

* b = 4, thay c=1, b=4 vào biểu thức ban đầu ta có:

$(a+1)(4+1)(1+1)=3a.4.1$

$\Rightarrow 10(a+1)=12a$

$\Rightarrow 2a=10$

$\Rightarrow a=5$ (thỏa điều kiện) 

Vậy với c=1, ta thu được hai bộ số $(8;3;1),(5;4;1)$ thỏa mãn đẳng thức đã cho

+ Xét c = 2

Thay c =2 vào (1) ta có:

$ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{2})=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\frac{3}{2}=3 $

$ \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=2 $

Từ  $a \ge b $

$\Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{a} \le 1+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow 2 =(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \le (1+\frac{1}{b})^2$

$\Rightarrow 1+\frac{1}{b} \ge \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{b} \ge \sqrt{2} -1 $

$\Rightarrow b  \le \frac{1}{\sqrt{2} -1} < 2.5 $

Do b là số nguyên dương lớn hơn hay bằng c nên b chỉ có thể là 2 

Thay b=2, c=2 vào biểu thức đã cho ta có:

$(a+1)(2+1)(2+1)=3a.2.2$

$\Leftrightarrow 9(a+1)=12a$

$\Leftrightarrow 3a=9$

$\Leftrightarrow a=3$ (thỏa điều kiện)
Vậy trường hợp c=2 ta thu được 1 bộ số $(3;2;2)$ thỏa đẳng thức đã cho
Đáp số:

Các số (a;b;c) cần tìm là $(8;3;1),(5;4;1),(3;2;2)$ và các hoán vị của chúng.

Câu 2a, Thi chuyên 10 Bạc Liêu, năm học 2025-2026

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+(x-1)(y+1) =2y^2-1 \\&x^2+y^2-10= 0\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Biến đổi phương trình thứ nhất:

$x^2+(x-1)(y+1) =2y^2-1$

$\Leftrightarrow x^2+xy+x-y-1=2y^2-1$

$\Leftrightarrow 2y^2+(1-x)y-x^2-x=0$

Giải phương trinh bậc hai này theo biến y.

Ta có $\Delta = (1-x)^2-4.2.(-x^2-x)=x^2-2x+1+8x^2+8x=9x^2+6x+1=(3x+1)^2 \ge 0 \forall x$

Ta tính ra được $y=x$ hoặc $y = -\frac{x+1}{2}$

• $y = x$ thay vào phương trình thứ 2 ta có:
  $x^2+x^2-10=0$
  $\Leftrightarrow 2x^2=10$
  $\Leftrightarrow x^2 = 5$
  $ \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}$
  Ta thu được hai nghiệm $(-\sqrt{5};-\sqrt{5}), (\sqrt{5};\sqrt{5})$
• $y = -\frac{x+1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta có:
  $x^2+(-\frac{x+1}{2})^2-10=0$
  $\Leftrightarrow 5x^2+2x-39=10$
  Giải phương trình bậc hai này ta có hai nghiệm $x=-3$ và $x=\frac{13}{5}$
  Tương ứng với $y=1$ và $y=-\frac{9}{5}$
  Ta thu thêm hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(-3;1),(\frac{13}{5};-\frac{9}{5})$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

$(-\sqrt{5};-\sqrt{5}), (\sqrt{5};\sqrt{5}),(-3;1),(\frac{13}{5};-\frac{9}{5})$