(C2.00002).Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình

 Đề:

Giải hệ phương trình: 

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2+xy+y^2=7 \\ x^3-2x=y^3+3y\end{aligned}\right.$

Bài giải:

$\left \lbrace \begin{aligned} x^2+xy+y^2=7 (1) \\ x^3-2x=y^3+3y (2)\end{aligned}\right.$

Ta có: (2) $\Leftrightarrow x^3-y^3=3y+2x$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=3y+2x$ (3)

Thay (1) vào (3) ta có:

(3) $\Leftrightarrow 7(x-y) = 3y + 2x $

$\Leftrightarrow 5x = 10y$

$\Leftrightarrow x = 2y$

Thay vào (1) ta có:

$\Leftrightarrow (2y)^2 + (2y)y+y^2=7$

$\Leftrightarrow 7y^2=7$

$\Leftrightarrow y^2=1$

$\Leftrightarrow y = \pm 1$

Tương ứng $x = \pm 2$

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (x;y) là {(-1;-2),(1;2)} 

(C2.00001).Toán HSG THCS: Giải phương trình căn thức bằng cách đặt ẩn phụ

 Đề:

Cho $\sqrt[3]{a+5}-\sqrt[3]{a-2}=1$

Tìm a.

Bài giải:

Đặt: $u=\sqrt[3]{a+5}$ và $v=\sqrt[3]{a-2}$. Ta có: $u^3-v^3=7$

và đề cho: $u-v=1$

Ta thu được hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}& u^3-v^3=7 \\& u-v=1 \end{aligned}\right.$

Biến đổi phương trình thứ nhất:

$u^3-v^3=7$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2)=7$

$\Leftrightarrow (u-v)(u^2-2uv+v^2+3uv)=7$

$\Leftrightarrow (u-v)((u-v)^2+3uv)=7$ (1)

Do $u-v=1$ nên (1) trở thành $1+3uv = 7 $

$\Leftrightarrow uv = 2$

$\Leftrightarrow (1+v)v = 2$

$\Leftrightarrow v^2+v-2=0$

Phương trình có hai nghiệm: $v=1$ hoặc $v=-2$

+ Với $v=1$, ta tính được $u=2$. Ta tìm được $a=3$

+ Với $v=-2$, ta tính được $u=-1$. Ta tìm được $a=-6$

Vậy có hai giá trị a cần tìm là {-6;0}

Toán HSG THCS: Giải hệ phương trình 3 ẩn số

 Đề:

Giải hệ phương trình sau:

$\left \lbrace \begin{aligned}& x + y = z^2 \\& x = 2 (y+z) \\& xy = 2(z+1) \end{aligned}\right.$

Bài giải:

Ta nhận xét hệ phương trình không đối xứng nên sẽ dùng phương pháp thế. Biến z có bậc 2 trong khi x và y bậc 1 nên ta sẽ giữ lại biến z.

Thay $ x = 2 (y+z) $ vào phương trình thứ nhất ta có:

$ 2 (y+z) + y = z^2$

$ \Leftrightarrow 3y + 2z = z^2$

$ \Leftrightarrow y = \frac{z^2 - 2z}{3}$

Thay kết quả này vào phương trình thứ 2 để tính x theo z:

$ x = 2(\frac{z^2 - 2z}{3} + z) = 2\frac{z^2+z}{3}$

Thay kết quả tính x và y theo z vào phương trình thứ ba ta có:

$2\frac{z^2+z}{3}\frac{z^2 - 2z}{3}=2(z+1)$

$ \Leftrightarrow (z^2+z)(z^2-2z)=9(z+1)$

$ \Leftrightarrow z(z+1)(z^2-2z)=9(z+1)$ (1)

+ Xét $z=-1$. Ta tính được x=0, y=1 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

+ Xét $z \not =-1$. (1) $ \Leftrightarrow z(z^2-2z)=9$

$\Leftrightarrow z^3-2z^2-9=0$

$\Leftrightarrow (z-3)(z^2+z+3)=0$ (2)

Vì $z^2+z+3 > 0$ $\forall z$

Nên (2) $ \Leftrightarrow  z-3 =0 \Leftrightarrow z = 3$

Từ z ta tính được x = 8, y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y;z) là {(0;1;-1), (8,1,3)}

Toán HSG THCS: Phương trình nghiệm nguyên chứa giai thừa

Đề:
Giải phương trình nghiệm nguyên thỏa:
$1!+2!+..+x!=y^2$

Bài giải:
Ta có: $n!=1.2.3.4...(n-1).n$
Do đó nếu $x \ge 5$:
$VT = 1!+2!+3!+4!+5!+..+x! = 33+5k$
Số này chia cho 5 dư 3.
Mà ta biết một số chính phương chia cho 5 dư 0,1 hoặc 4.
Vậy $x \le 4$.
Ta thử lần lượt các giá trị có thể của x 1,2,3,4 thì thấy $x=3,y=3$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Toán HSG THCS: Tính giá trị biểu thức

Đề:
Cho $a,b,c \ge 0 $ thỏa mãn:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Tính $P = (a+1)(b+1)(c+1)$

Bài giải:
Từ:
$\left \lbrace \begin{aligned}& a^3+1 = b^2 + c \\& b^3 + 1 = c^2 + a \\& c^3 + 1 = a^2 + b \end{aligned}\right.$
Cộng vế theo vế 3 đẳng thức ta có:
$a^3+1+b^3+1+c^3+1=a^2+b^2+c^2+a+b+c$
$\Leftrightarrow (a^3-a^2-a+1)+(b^3-b^2-b+1)+(c^3-c^2-c+1)=0$
$\Leftrightarrow (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2=0$ (1)
Vì $a \ge 0$ nên $ a+1 > 0$
Do đó $(a+1)(a-1)^2 \ge 0$ Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Tương tự $(b+1)(b-1)^2 \ge 0$ và $(c+1)(c-1)^2 \ge 0$
Suy ra $ (a+1)(a-1)^2+(b+1)(b-1)^2+(c+1)(c-1)^2 \ge 0 $ (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra $a=b=c=1$
Vậy $P = (a+1)(b+1)(c+1) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8$
Đáp số: $P=8$

HSG THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}\ge 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Bài giải:
Ta chứng minh với hai số thực $x,y>0$ thì:
$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$ (1)
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y}}{\sqrt{y}.\sqrt{y}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow x.\sqrt{x}+y.\sqrt{y} \ge x.\sqrt{y}+y.\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow (x.\sqrt{x} - x.\sqrt{y})+ (y.\sqrt{y} - y.\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow x.(\sqrt{x}-\sqrt{y})+y.(\sqrt{y}-\sqrt{x}) \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \ge 0 $ (2)
Do $x-y$ và $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ luôn cùng dấu nên (2) đúng.
$ Vậy (1) đúng$
Dấu "=" xảy ra khi "x = y"
Lần lượt áp dụng (1) cho các cặp số sau:

• a và c: $\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{c}$ (3)
• c và b: $\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{c}+\sqrt{b}$ (4)
• b và a: $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\ge \sqrt{b}+\sqrt{a}$ (5)

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (3),(4),(5) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi "$a=b=c$"

Toán THCS: Bất đẳng thức

Đề:
Cho a,b > 0; (a+1)(b+1)=4ab
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt{3a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+1}}\le1$

Bài giải:
Ta có:
$(a+1)(b+1)=4ab \Leftrightarrow (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=4$ (1)
Đến đây bài toán gợi ý chúng ta đổi biến. Ta đặt: $x=\frac{1}{a}$ và $y=\frac{1}{b}$ (x,y>0)
Biểu thức (1) trở thành $(x+1)(y+1)=4$
$\Leftrightarrow xy+x+y+1=3$
$\Leftrightarrow xy = 3-x-y$ (2)
Bất đẳng thức đã cho viết lại là:
$\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{x})^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{y})^2+1}}\le1$
$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}}\le1$
Để phá bỏ căn ở dưới mẫu ta cần đưa về dạng bình phương của một tổng.
Điều này nhắc chúng ta nên sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(x^2+(\sqrt{3})^2)(1^2+(\sqrt{3})^2) \ge (1.x+(\sqrt{3}).(\sqrt{3}))^2$
$\Leftrightarrow (x^2+3).4 \ge (x+3)^2$
$\Leftrightarrow x^2+3 \ge \frac{(x+3)^2}{4}$ (3)
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
$\Leftrightarrow x = 1$
Tương tự ta có $y^2+3 \ge \frac{(y+3)^2}{4}$ (4)
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$
Áp dụng kết quả (3) và (4) ta có: $VT = \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}} \le \frac{x}{\sqrt{\frac{(x+3)^2}{4}}}+\frac{y}{\sqrt{{\frac{(y+3)^2}{4}}}}$
$=\frac{2x}{x+3}+\frac{2y}{y+3)} = 2\frac{x(y+3)+y(x+3)}{(x+3)(y+3)}$
$=2.\frac{xy+3x+xy+3y}{xy+3x+3y+9}$
$=2.\frac{2xy+3y+3x}{xy+3x+3y+9}$
Sử dụng (2) ta có:
$VT \le 2.\frac{2(3-x-y)+3x+3y}{(3-x-y)+3x+3y+9}$
$=2\frac{6-2x-2y+3x+3y}{12+2x+2y}$
$=2\frac{6+x+y}{12+2x+2y}=1$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ hay $a=b=1$

Bài hệ phương trình hay toán chuyên THCS

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}& \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{y+2x}=1 \\&\frac{4}{\sqrt{y}}-\frac{4}{y+2x}=1\end{aligned}\right.$

Bài Làm:

Điều kiện $x,y > 0 $

Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:

$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{y}} = 2 $ 

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = 1$ (1)

Đặt $y=tx$ (với $t > 0$)

Thay vào (1) ta tính được $\sqrt{x}=1+\frac{2}{\sqrt{t}}$(2)

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình sau theo x:
$x(t+2)-2(t+2)\sqrt{x}-4=0$
Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{x}$. Ta có nghiệm:
$\sqrt{x} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$ (3)

So sánh (2) và (3) ta có:
$ 1+\frac{2}{\sqrt{t}} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$

$\Rightarrow t^2+2t-8=0$
$\Leftrightarrow \begin{align}\left[\begin{array}{ll} t = 2  \\ t = -4 & \text{(loại vì t > 0)}\end{array}\right .\end{align}$

Vậy $ t=2$ thay vào (1) ta tính được $x = 3+2\sqrt{2}$ và $y=tx=2x = 2(3+2\sqrt{2})$
Hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $ (3+2\sqrt{2};2(3+2\sqrt{2}))$

Bài toán tìm số tự nhiên 5 chữ số trong đề thi vào 6 Amsterdam Hà nội

 Đề: 
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho:
$\overline{abcde}=45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }e$

Bài giải:
Gọi X = $\overline{abcde}$

Rõ ràng X chia hết cho 5 nên e=0 hoặc 5. Loại e=0 vì e=0 thì X=0 nhưng giả thiết $a \not = 0$

Vậy $X = \overline{abcd5} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }5 \Rightarrow X$ chia hết cho 25, X phải tận cùng là 00, 25,50,75 

Vì X đã tận cùng 5 nên loại hai trường hợp 00 và 50. X cũng không thể tận cùng là 25 vì $X = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }2\text{ x }5$ là số chẵn mà X đã tận cùng là 5 (là số lẻ). Vậy X phải tận  cùng là 75.

Đến đây ta có $X=\overline{abc75} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }7\text{ x }5$.

$\Leftrightarrow 4\text{ x }\overline{abc} + 3 = 63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c$

Ba số a,b,c lẻ và phải có 1 số nhỏ hơn 4 vì nếu cả 3 số >= 4

Thì $63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c \ge 63 \text{ x } 4^{3} = 4032$

nhưng $4\text{ x }\overline{abc} + 3\le  3999$

Vậy trong 3 số $a,b,c$ phải có số là 1 hoặc 3. Gọi số đó là $x$, hai số còn lại là $y$ và $z$.
Vai trò $y$ và $z$ như nhau nên giả sử $y \le z$

Vì X chia hết cho 9 nên $a+b+c ≡ 6 \pmod 9$

$\Rightarrow  x+y+z ≡ 6 \pmod 9$ (1)

1. Thay x=1  vào  có $y+z ≡ 5 \pmod 9 $

$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 5 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 14 \end{align}\right .$

$\Rightarrow (y;z) \in \{ (5;9),(7;7)\}$
Thử: 

45*1*5*9*7*5 = 70875 (loại)

45*1*7*7*7*5 = 77175  (chấp nhận  với  a=7,b=7,c=1)

2. Thay x=3 vào (1) ta suy ra $y+z ≡ 3 \pmod 9$
$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 3 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 12 \end{align}\right .$

$\Rightarrow (y;z) \in  \{(5;7),(3;9)\}$
Thử: 

45*3*5*7*7*5 = 165375 (loại)

45*3*3*9*7*5 = 127575 (loại)

Đáp số: 77175

Câu 5 a, Thi tuyển lớp 10 2025, môn Toán Chuyên, Quảng Bình

 Đề: 

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:

$(x-y)(x+y)+x^2(1-y)=17-2y$

Bài giải:

$(x-y)(x+y)+x^2(1-y)=17-2y$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)+(x^2-x^2y)+2y=17$

$\Leftrightarrow (2x^2-x^2y)+(2y-y^2)=17$

$\Leftrightarrow x^2(2-y)+y(2-y)=17$

$\Leftrightarrow (x^2+y)(2-y)=17$

Có 4 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1:
$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=1 \\&2-y=17\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=16 \\&y=-15\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y=-15\end{aligned}\right.\\ \left \lbrace \begin{aligned}&x=-4 \\&y=-15\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.$

+ Trường hợp 2:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=17 \\&2-y=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=16 \\&y=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{aligned} \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y=1\end{aligned}\right.\\ \left \lbrace \begin{aligned}&x=-4 \\&y=1\end{aligned}\right. \end{aligned}\right.$

+ Trường hợp 3:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=-1 \\&2-y=-17\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=-20 \\&y=19\end{aligned}\right.$

=> Vô nghiệm vì $x^2 \ge 0 $

+ Trường hợp 4:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+y=-17 \\&2-y=-11\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x^2=-20 \\&y=3\end{aligned}\right.$

=> Vô nghiệm vì $x^2 \ge 0 $
Như vậy các cặp số nguyên $(x;y)$ cần tìm là $(-4;-15),(4;-15),(-4;1),(4;1)$

Bài tìm nghiệm nguyên lớp 9 hay

 Đề:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $3^x-32=y^2$

Bài giải:

Ta có y chia cho 4 dư 0,1,2,3 suy ra $y^2$ chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Mà 32 chia hết cho 4 nên suy ra $3^x$ chia cho 4 dư 0 hoặc 1.
Ta có $3 \equiv -1 \pmod 4$
$\Rightarrow 3^x \equiv (-1)^x \pmod 4$
$\Rightarrow$ x là số chẵn.
Đặt $x=2k$ (k là số nguyên dương)
Thay vào phương trình đã cho ta có:
$3^{2k}-32=y^2$
$\Leftrightarrow (3^k)^2-y^2=32$

$\Leftrightarrow (3^k-y)(3^k+y)=32$

Vì y, k là các số nguyên dương nên:
$3^k+y > 3^k-y > 1$
Có hai trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp 1:
$\left \lbrace \begin{aligned}&3^k+y=16 \\&3^k-y = 2\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&k=2 \\&y = 7\end{aligned}\right.$

$\Rightarrow \left \lbrace \begin{aligned}&x=4 \\&y = 7\end{aligned}\right.$
Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn phương trình đã cho 
+ Trường hợp 2:
$\left \lbrace \begin{aligned}&3^k+y=8 \\&3^k-y = 4\end{aligned}\right.$
Hệ phương trình này không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ nguyên dương là $(4;7)$

Câu 5, Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm 2025, Môn Toán (Chuyên Toán + Chuyên Tin), Long An

 Đề:

Cho n,m  là các số tự nhiên và $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5.

Bài giải:

Đầu tiên ta đi tìm số dư của số tự nhiên a cho 5.
Ta có $a \equiv k \pmod 5$ với k là số tự nhiên thỏa $0\le k \le 4$

Suy ra $a^4  \equiv k^4 \pmod 5$

k	$k^4$	$k^4\ \text{mod}\ 5$
0	0	0
1	1	1
2	16	1
3	81	1
4	256	1

Vậy  $a^4  \equiv 0 \pmod 5$ nếu a chia hết cho 5 và $a^4  \equiv 1 \pmod 5$ nếu a không chia hết cho 5.
Kết hợp giả thiết $n^4+m^4$ chia hết cho 5. Ta suy ra cả n và m phải chia hết cho 5.
Từ đó ta suy ra $n^{2025}+m^{2025}$ chia hết cho 5. Hay nói cách khác số dư khi chia $n^{2025}+m^{2025}$ cho 5 là 0.