Đề:
Giải hệ phương trình
$\left \lbrace \begin{aligned}&(x+y)(4x+y) = 5x+2y-1 \\&2x^2-5x+2\sqrt{x+y}-\sqrt{3x-1} = 0\end{aligned}\right.$
Lời giải:
Điều kiện $3x-1\ge0 \land x+y \ge0 \Leftrightarrow y \ge -x \land x\ge \frac{1}{3}$
Phương trình thứ nhất $\Leftrightarrow 4x^2+5xy+y^2=5x+2y-1$
$\Leftrightarrow y^2+(5xy-2y)+(4x^2-5x-1)=0$
$\Leftrightarrow y^2+(5x-2)y+(4x^2-5x-1)=0$
Giải phương trình bậc 2 theo biến y, ta có hai hai nghiệm $y=1-x$ và $y=1-4x$
- Trường hợp $y=1-x$ thay vào phương trình thứ 2:
$2x^2-5x+2\sqrt{1}-\sqrt{3x-1} = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x-1} = 2x^2-5x+2$
$\Rightarrow 3x-1 = (2x^2-5x+2)^2$
$\Leftrightarrow 4x^4-20x^3+33x^2-23x+5=0$
$\Leftrightarrow (x^2-3x+1)(4x^2-8x+5)=0 (1)$
Do $4x^2-8x+5 = 4(x^2-2x+1)+1 = 4(x-1)^2+1 \ge 1 \forall x$
Nên $(1) \Leftrightarrow x^2-3x+1 = 0$
Phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$;$x_2=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$
Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $x\ge \frac{1}{3}$
Từ diều kiện $y \ge -x$, ta có: $1-4x \ge -x \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}$
Kết hợp điều kiện $x\ge \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
Thay vào phương trình thứ 2 ta thấy giá trị này không thỏa.
Đáp số:
Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:$(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2};-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}), (\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2};-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2})$
