Câu 1, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề:

Cho biểu thức:

$P = \frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^3+a^2+ab+a^2b}{a^2-b^2}+\frac{b}{a-b}) $

với a>b, b>0, $a \neq b$, $a+b \neq a^2$

1. CMR: P=a-b

2. Tìm a,b biết rằng P=1 và $a^3-b^3=7$

Bài làm:

1. $M = \frac{a^3+a^2+ab+a^2b}{a^2-b^2}+\frac{b}{a-b}$

 $= \frac{a^3+a^2+ab+a^2b+b(a+b)}{a^2-b^2}$

$= \frac{a^3+a^2+2ab+a^2b+b^2}{a^2-b^2}$

$= \frac{a^3+a^2b+a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}$

$= \frac{a^2(a+b)+(a+b)^2}{a^2-b^2}$

$= \frac{(a+b)(a^2+a+b)}{a^2-b^2}$

Do a> 0, b> 0, nên $a+b \neq 0 $ 

$M = \frac{a^2+a+b}{a-b}$ 

$T = \frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}$

$=\frac{a^4-a^2-2ab-b2}{(a-\sqrt{a+b})(a+\sqrt{a+b})}$

$=\frac{a^4-a^2-2ab-b2}{a^2-(a+b)}$

$=\frac{(a^2)^2-(a+b)^2}{a^2-(a+b)}$

$=a^2+a+b$

Do đó:

$P = \frac{T}{M} = a -b$

2. $P = 1 \iff a-b = 1 \iff a = b+ 1$

$a^3-b^3 = 7$ 

$\iff (b+1)^3-b^3 = 7$ 

$\iff  3b^2+3b+1 = 7$ 

$\iff  b^2+b-2 = 0$ 

$\iff  b = 1 \vee b = -2$

Tuy nhiên b > 0 do đó $b = 1 \Rightarrow a= 2$

Đáp số: a=2, b=1

Bài viết liên quan