Câu 2, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề: 
Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thoả mãn: $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$

Hãy tính $S=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1}$

Lời giải:

Từ $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$

$\Rightarrow \frac{(x^2+1)+(y^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\frac{2}{xy+1}$

$\Rightarrow (x^2+y^2+2)(xy+1) = 2(x^2+1)(y^2+1)$

$\Rightarrow x^3y+x^2+xy^3+y^2+2xy+2 = 2x^2y^2+2x^2+2y^2+2$

$\Rightarrow x^3y+x^2+xy^3+y^2+2xy+2 = 2x^2y^2+2x^2+2y^2+2$

$\Rightarrow x^3y+xy^3+2xy = 2x^2y^2+x^2+y^2$

$\Rightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2 = x^2+y^2-2xy$

$\Rightarrow xy(x^2-2xy+y^2) = x^2+y^2-2xy$

$\Rightarrow xy(x-y)^2 = (x-y)^2 (1)$

Do $x \ne y$ 

Nên $(1) => xy = 1 $

$S=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1} = \frac{4}{xy+1} = \frac{4}{1+1} = 2 $

Bài viết liên quan