FOLAMI BLOG: Câu 2, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

01/06/2017

Câu 2, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề:
Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thoả mãn:

\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} = \frac{2}{x y + 1}

Hãy tính

S = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} + \frac{2}{x y + 1}

Lời giải:

Từ

\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} = \frac{2}{x y + 1}

\Rightarrow \frac{(x^{2} + 1) + (y^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} = \frac{2}{x y + 1}

\Rightarrow (x^{2} + y^{2} + 2) (x y + 1) = 2 (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)

\Rightarrow x^{3} y + x^{2} + x y^{3} + y^{2} + 2 x y + 2 = 2 x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2

\Rightarrow x^{3} y + x^{2} + x y^{3} + y^{2} + 2 x y + 2 = 2 x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2

\Rightarrow x^{3} y + x y^{3} + 2 x y = 2 x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2}

\Rightarrow x^{3} y + x y^{3} - 2 x^{2} y^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y

\Rightarrow x y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} - 2 x y

\Rightarrow x y (x - y)^{2} = (x - y)^{2} (1)

Do

x \neq y

Nên

(1) => x y = 1

S = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} + \frac{2}{x y + 1} = \frac{4}{x y + 1} = \frac{4}{1 + 1} = 2

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)