Câu 5, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề:
Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại P. Gọi D,E là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB, AC và M là trung điểm BC.
1) Chứng minh $\widehat{MEP}=\widehat{MDP}$
2) Giả sử B,C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có 3 góc nhọn.Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
3) Khi tam giác ABC đều, hãy tính diện tích tam giác ADE theo R.
Bài giải:

1) Tam giác cân OBC có OM vừa là trung tuyến, vừa là đường cao. $OM\perp BC$
◿OBP = ◿ OCP bởi vì OB=OC=R, OP chung
$\Rightarrow PB=PC$
$\Rightarrow \mathrm{△}PBC$ là tam giác cân tại P
$\Rightarrow PM\perp BC$ và $\widehat{BPM}=\widehat{CPM}$ (1)
Tứ giác PMBD là tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là hai góc vuông.
$\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BPM}$ (Góc nội tiếp cùng chắn cung BM) (2)
Tương tự tứ giác PMCE cũng là tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là hai góc vuông.
$\Rightarrow \widehat{CEM}=\widehat{CPM}$ (Góc nội tiếp cùng chắn cung CM) (3)
Từ (1),(2), (3) ta suy ra:
$\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$
$\Rightarrow \widehat{MEP}=\widehat{MDP}$
2) Gọi F là giao điểm của OP và DE. Vì B,C, (O) cố định nên P là cố định.
Do đó OP là cố định. Ta chứng minh F là cố định.
$\widehat{CAB}=\widehat{PBM}$ (Góc nội tiếp cùng chắn cung BC) (4)
Từ (2) và (4) ta suy ra:
$\widehat{CAB}+\widehat{BDM}={90}^o$
$\Rightarrow DM\perp AC$
$\Rightarrow DM//PE$
Chứng minh tương tự ta có EM // PD
Vậy tứ giác MDPE là hình bình hành hay F là trung điểm của MP. Hay F là cố định.
3) Khi tam giác ABC đều. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{4}$
 $S_{\mathrm{△}ADE}=\frac{1}{2}\ast AF\ast DE=\frac{1}{2}\ast \frac{3}{2}AM\ast \frac{3}{2}BC=\frac{9}{4}\ast S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{27\sqrt{3}{R}^2}{16}$

Câu 1, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề:

Cho biểu thức:

$P=\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b}{a^2-b^2}+\frac{b}{a-b})$

với a>b, b>0, $a\ne b$, $a+b\ne a^2$

1. CMR: P=a-b

2. Tìm a,b biết rằng P=1 và $a^3-b^3=7$

Bài làm:

1. $M=\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b}{a^2-b^2}+\frac{b}{a-b}$

 $=\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b+b(a+b)}{a^2-b^2}$

$=\frac{a^3+a^2+2ab+a^{2}b+b^2}{a^2-b^2}$

$=\frac{a^3+a^{2}b+a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}$

$=\frac{a^2(a+b)+(a+b{)}^2}{a^2-b^2}$

$=\frac{(a+b)(a^2+a+b)}{a^2-b^2}$

Do a> 0, b> 0, nên $a+b\ne 0$ 

$M=\frac{a^2+a+b}{a-b}$ 

$T=\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}$

$=\frac{a^4-a^2-2ab-b2}{(a-\sqrt{a+b})(a+\sqrt{a+b})}$

$=\frac{a^4-a^2-2ab-b2}{a^2-(a+b)}$

$=\frac{(a^2{)}^2-(a+b{)}^2}{a^2-(a+b)}$

$=a^2+a+b$

Do đó:

$P=\frac{T}{M}=a-b$

2. $P=1⟺a-b=1⟺a=b+1$

$a^3-b^3=7$ 

$⟺(b+1{)}^3-b^3=7$ 

$⟺3b^2+3b+1=7$ 

$⟺b^2+b-2=0$ 

$⟺b=1\vee b=-2$

Tuy nhiên b > 0 do đó $b=1\Rightarrow a=2$

Đáp số: a=2, b=1

Câu 6, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề:
Có các số thực không âm $x_1,x_2,...,x_9$ thoả mãn:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+...+x_9=10\\ x_1+2x_2+...+9x_9=18\end{array}$

CMR: $1.19x_1+2.18x_2+...+9.11x_9\ge 270$, đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải:

$S=1.19x_1+2.18x_2+...+9.11x_9$

$=(x_1+2x_2+...+9x9)+\frac{19x_1+18x_2+..+11x_9}{100}$

$=18+\frac{(19x_1+18x_2+..+11x9)-20(x_1+x_2+...+x_9)+20(x_1+x_2+...+x_9)}{100}$

$=18+\frac{20\ast 10-(x_1+2x_2+...+9x_9)}{100}$

$=18+\frac{200-18}{100}$

$=19.82$

S=19.82. Tại sao đề lại yêu cầu chứng minh $S\ge 270$ rồi còn hỏi đẳng thức xảy ra khi nào nữa !!!

Câu 2, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề: 
Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thoả mãn: $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$

Hãy tính $S=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1}$

Lời giải:

Từ $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}$

$\Rightarrow \frac{(x^2+1)+(y^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\frac{2}{xy+1}$

$\Rightarrow (x^2+y^2+2)(xy+1)=2(x^2+1)(y^2+1)$

$\Rightarrow x^{3}y+x^2+x{y}^3+y^2+2xy+2=2x^2{y}^2+2x^2+2y^2+2$

$\Rightarrow x^{3}y+x^2+x{y}^3+y^2+2xy+2=2x^2{y}^2+2x^2+2y^2+2$

$\Rightarrow x^{3}y+x{y}^3+2xy=2x^2{y}^2+x^2+y^2$

$\Rightarrow x^{3}y+x{y}^3-2x^2{y}^2=x^2+y^2-2xy$

$\Rightarrow xy(x^2-2xy+y^2)=x^2+y^2-2xy$

$\Rightarrow xy(x-y{)}^2=(x-y{)}^2(1)$

Do $x\ne y$ 

Nên $(1)=>xy=1$

$S=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1}=\frac{4}{xy+1}=\frac{4}{1+1}=2$