(C2.00017).Toán HSG THCS Giải hệ phương trình

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 8x^3y^3+1 = 9y^3\\2x^2y+x=3y^2\end{cases}$

Bài giải:

Ta đánh số các phương trình trong hệ như sau:

$\begin{cases} 8x^3y^3+1 = 9y^3(1)\\2x^2y+x=3y^2(2)\end{cases}$

$(1) \Leftrightarrow (2xy)^3+1=9x^3$

$\Leftrightarrow (2xy+1)[(2xy)^2-2xy+1]=9y^3$(3)

$(2)\Leftrightarrow x(2xy+1)=3y^2$ (4)
Nếu $x=0$ thì từ (2) suy ra $y=0$ nhưng $x=0;y=0$ không thỏa mãn (1), do đó

$x=0;y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Xét $ x \not=0$ và $y \not= 0$

$(4) \Leftrightarrow 2xy+1=\frac{3y^2}{x}$ (5)

Thay vào (3) ta có:
$\frac{3y^2}{x}[(2xy)^2-2xy+1]=9y^3$
$\Leftrightarrow (2xy)^2-2xy+1 =3xy$
$\Leftrightarrow 4(xy)^2-5xy+1 =0$

Phương trình bậc hai theo $xy$ có hai nghiệm: $xy=1$ và $xy=\frac{1}{4}$

1) Trường hợp 1: $xy=1$

Thay vào (5) ta có $2.1+1=\frac{3y^2}{x}$
$\Leftrightarrow  x=y^2$
Mà $xy=1$ hay $y^3=1\Leftrightarrow y = 1$

Từ $y=1$ ta tính được $x=y^2=1^2=1$

Ta thử lại $x=y=1$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho 
2) Trường hợp 2: $xy=\frac{1}{4}$

Thay vào (5) ta có $2.\frac{1}{4}+1=\frac{3y^2}{x}$
$\Leftrightarrow x=2y^2$
Mà $xy=\frac{1}{4}$ hay $y^3=\frac{1}{8}\Leftrightarrow y = \frac{1}{2}$

Từ $y=\frac{1}{2}$ ta tính được $x=2y^2=2.(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$
Ta thử lại $x=y=\frac{1}{2}$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho 
Vậy tập nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình đã cho là $\{(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),(1;1)\}$

(C2.00016) Toán HSG THCS Tính giá trị biểu thức

 Đề: (Trích Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm 2024-2025 dành cho Thí sinh chuyên Toán, Tin Tỉnh Thái Bình)
Cho x là một số dương thỏa mãn $\frac{x^3+1}{x}=18\sqrt{x}$

Tính giá trị biểu thức $A=\frac{x^2+1}{x}$

Bài giải:

Đặt $t=\sqrt{x}$, do $x>0$ nên $t>0$
Ta có: $\frac{x^3+1}{x}=18\sqrt{x}$
Nhân hai vế với $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 
Ta được:
$\frac{x^3+1}{x\sqrt{x}}=18$
Hay $\frac{(\sqrt{x})^6+1}{(\sqrt{x})^3}=18$
$(\sqrt{x})^3+\frac{1}{(\sqrt{x})^3}=18$

Hay $t^3+\frac{1}{t^3}=18$
Gọi $B=t+\frac{1}{t}$
Thế thì $B^3=t^3+3t^2.\frac{1}{t}+3t.\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^3}=(t^3+\frac{1}{t^3})+3(t+\frac{1}{t})$

hay $B^3=18+3B$
$B^3-3B-18=0$ (1)
Phương trình bậc 3 này có hệ số tự do là -18, ta tiến hành nhẩm nghiệm bằng các ước số của 18 là $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18$
Ta thu được 1 nghiệm $B=3$
Phân tích (1) thành nhân tử $(B-3)(B^2+3B+6)=0$
Phương trình bậc gai $B^2+3B+6=0$ vô nghiệm vì có $\Delta = -15 < 0$
Do đó (1) có nghiệm duy nhất là $B=3$
$A=\frac{x^2+1}{x}=\frac{(\sqrt{x})^4+1}{(\sqrt{x})^2}$
$=(\sqrt{x})^2+\frac{1}{(\sqrt{x})^2}=t^2+\frac{1}{t^2}$
$=(t+\frac{1}{t})^2-2.t.\frac{1}{t}=B^2-2=3^2-2=7$
Vậy $A=7$

(C2.00015) Toán HSG THCS Phương trình nghiệm nguyên chứa giai thừa

 Đề:

Tìm các số tự nhiên x,y biết: $10!+11!+12!=x^2(y!)$

Bài giải:

Ta có: 

$10!+11!+12!=x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!+10!.11+10!.11.12=x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!(1+11+11.12) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!(12+11.12) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!.12(1+11) =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 10!.12^2 =x^2(y!)$

$\Leftrightarrow 12^2 (10!) =x^2(y!)$ (1)

Ta suy ra $x=12; y=10$

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình.

+ Nếu $y < 10$:
(1) $\Leftrightarrow x^2=12^2(10.9....(y+1))$

$\Rightarrow  10.9....(y+1)$ là số chính phương 
Ta cho y chạy từ 0 đến 9 và không có số nào thỏa mãn 
+ Nếu $y > 10$:
(1) $\Leftrightarrow (11.12...y) x^2=12^2$
Ta thử y=11, y=12 thì không tìm được số tự nhiên x 
Với $y \ge 12$ 
$y \le \frac{12^2}{12.11} < 2$ (vô lí)
Vậy chỉ có $x=12;y=10$ thỏa mãn bài toán đã cho

(GT.00002) Giải trí Toán học: Cách giải các bài toán dạng cho ánh xạ số

 Trên các mạng xã hội chắc bạn không ít một lần gặp bạn mình chia sẻ các bài toán dạng bài toán sau: 
Nếu: 

$9 = 10$

$8=18$

$7=24$

$6=28$

$5=30$

Vậy $3 = ?$

Bài toán này chính là cho một ánh xạ từ tập số tự nhiên vào tập số tự nhiên, bạn phải tìm ra nó để tính giá trị được hỏi. Thường ánh xạ cho là hàm số đa thức (chỉ nói là thường chứ không phải tất cả).
Theo cách tiếp cận này thì để giải bài toán trên ta giả sử ánh xạ cần tìm là:
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ 
Do đề cho 5 số liệu nên ta cần 5 biến.
Sau đó ta đi giải hệ phương trình:
$\left \lbrace \begin{aligned} f(9)=a.9^4+b.9^3+c.9^2+d.9+e=10\\f(8)=a.8^4+b.8^3+c.8^2+d.8+e=18\\f(7)=a.7^4+b.7^3+c.7^2+d.7+e=24\\f(6)=a.6^4+b.6^3+c.6^2+d.6+e=28\\f(5)=a.5^4+b.5^3+c.5^2+d.5+e=30\end{aligned}\right.$
Giải hệ phương trình ta có: $a=0,b=0,c=-1,d=9,e=10$

hay $f(x)=-x^2+9x+10$
Bây giờ: $ 3 = f(3)=-3^2+9.3+10=28$