Hình học 7-Dạng 1-Bài 2 (Ôn tập thi HK2 2021-2022)

Cho $\triangle ABC$ cân tại B có $\widehat{BAC}=53^o$, BN là tia phân giác của góc B.
a) Tính số đo của góc ABC
b) Chứng minhg: $\triangle BAN = \triangle BCN$
c) Kẻ $AE \perp BC$ ($E\in BC$), $CI \perp AB$ ($I \in AB$). Chứng minh: $\triangle CEA = \triangle AIC$
d) Chứng minh: $AC // IE$
e) Gọi S là giao điểm của AE và CI. Chứng minh: B,S,N thẳng hàng
Bài giải:

a) Tính số đo góc ABC:
Do $\triangle ABC$ cân tại B nên: $\widehat{BCA}=\widehat{BAC}=53^o$
Ta có:$\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{BAC} = 180^o$
$⇔ \widehat{ABC} + 53^o+53^o=180^o$
$⇔ \widehat{ABC} + 106^o=180^o$
$⇔ \widehat{ABC} = 180^o - 106^o$
$⇔ \widehat{ABC} = 74^o$
Vậy $\widehat{ABC} = 74^o$
b) Chứng minhg: $\triangle BAN = \triangle BCN$
Ta có: $\begin{cases} BA = BC \text{ (} \triangle ABC \text{ cân tại B)}\\ BN \text{ cạnh chung}\\ \widehat{ABN}=\widehat{CBN} \text{( BN là tia phân giác)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle BAN = \triangle BCN$ (c-g-c)
c) Chứng minh: $\triangle CEA = \triangle AIC$
Xét hai tam giác vuông CEA và AIC:
$\begin{cases} \text{Cạnh huyền } AC \text{ chung}\\ \widehat{ECA}=\widehat{IAC} \text{ (} \triangle ABC \text{ cân tại B)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CEA = \triangle AIC$ (cạnh huyền-góc nhọn)
d) Chứng minh: $AC // IE$
Từ $\triangle CEA = \triangle AIC$
$\Rightarrow CE = AI$
$\Rightarrow BE = BI$
$\Rightarrow \triangle BEI$ cân tại B
$\Rightarrow \widehat{BEI} = \widehat{BCA} = \frac{180^o-\widehat{EBI}}{2}$ (ở vị trí đồng vị)
$\Rightarrow AC //IE$
e) Chứng minh B,S,N thẳng hàng
Xét $\triangle ABC$: $\begin{cases} CI \perp AB\\ AE \perp BC\\ S = CE \cap CI \end{cases}$
$\Rightarrow S$ là trực tâm của $\triangle ABC$
Ngoài ra $\triangle ABC$ cân tại B nên đường phân giác BN cũng là đường cao
$\Rightarrow S \in BN$
hay B,S,N thẳng hàng

Hình học 7-Dạng 1-Bài 1 (Ôn tập thi HK2 2021-2022)

Đề: Cho $\triangle CEF$ cân tại C, tia phân giác của góc C cắt EF tại M.
a. Chứng minh: $\triangle CME = \triangle CMF$
b. Chứng minh: M là trung điểm của EF
c. Kẻ $MH \perp CE$ tại H, $MK \perp CF$ tại K. Chứng minh: $CH = CK$.
d. Chứng minh: $HK // EF$.
e. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng HM, cắt HM tại O. Chứng minh $\triangle MKO$ cân.
Bài giải:

a. Chứng minh: $\triangle CME = \triangle CMF$
$\begin{cases} CE = CF \text{ (do } \triangle CEF \text{ cân tại C)}\\ \widehat{ECM} = \widehat{FCM} \text{ (do CM là tia phân giác)}\\ CM \text{ chung} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CME = \triangle CMF$ (c-g-c) (đpcm)
b.Chứng minh: M là trung điểm của EF
Do $\triangle CME = \triangle CMF$ (chứng minh câu a)
nên $ME = MF$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của EF (đpcm)
c.Chứng minh: $CH = CK$.
Xét hai tam giác vuông CHM và CKM.
Ta có: $\begin{cases} \widehat{HCM} = \widehat{KCM} \text{ (do CM là tia phân giác)}\\ CM \text{ chung} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle CHM = \triangle CKM$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow CH = CK$
d. Chứng minh $HK // EF$
$\triangle CEF$ cân tại C, $CM$ là phân giác $\Rightarrow CM$ cũng là đường cao $\Rightarrow CM \perp EF$
$CH = CK \Rightarrow \triangle CHK$ cân tại C $\Rightarrow CM$ cũng là đường cao $\Rightarrow CM \perp HK$
Suy ra $HK // EF$ (đpcm)
e. Chứng minh $\triangle MKO$ cân:
Xét hai tam giác vuông HME và OMF
Ta có:
$\begin{cases} ME = MF \text{ (chứng minh ở câu b)}\\ \widehat{EMH} = \widehat{FMO} \text{ (đối đỉnh)} \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle HME = \triangle OMF$
$\Rightarrow MH = MO$(1)
Mà: $ \triangle CHM = \triangle CKM$ (chứng minh ở câu c)
$\Rightarrow MH = MK$(2)
Từ (1) và (2) ta có: $MK = MO \Rightarrow \triangle MKO$ cân tại M (đpcm)