Đề:
Giải hệ phương trình:
$\left \lbrace \begin{aligned}& \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{y+2x}=1 \\&\frac{4}{\sqrt{y}}-\frac{4}{y+2x}=1\end{aligned}\right.$
Bài Làm:
Điều kiện $x,y > 0 $
Cộng hai phương trình vế theo vế ta có:
$\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{y}} = 2 $
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = 1$ (1)
Đặt $y=tx$ (với $t > 0$)
Thay vào (1) ta tính được $\sqrt{x}=1+\frac{2}{\sqrt{t}}$(2)
Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình sau theo x:
$x(t+2)-2(t+2)\sqrt{x}-4=0$
Giải phương trình bậc hai theo biến $\sqrt{x}$. Ta có nghiệm:
$\sqrt{x} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$ (3)
So sánh (2) và (3) ta có:
$ 1+\frac{2}{\sqrt{t}} = 1 +\sqrt{ \frac{t+6}{t+2}}$
$\Rightarrow t^2+2t-8=0$
$\Leftrightarrow \begin{align}\left[\begin{array}{ll} t = 2 \\ t = -4 & \text{(loại vì t > 0)}\end{array}\right .\end{align}$
Vậy $ t=2$ thay vào (1) ta tính được $x = 3+2\sqrt{2}$ và $y=tx=2x = 2(3+2\sqrt{2})$
Hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $ (3+2\sqrt{2};2(3+2\sqrt{2}))$
