Đề:
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho:
$\overline{abcde}=45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }e$
Bài giải:
Gọi X = $\overline{abcde}$
Rõ ràng X chia hết cho 5 nên e=0 hoặc 5. Loại e=0 vì e=0 thì X=0 nhưng giả thiết $a \not = 0$
Vậy $X = \overline{abcd5} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }d\text{ x }5 \Rightarrow X$ chia hết cho 25, X phải tận cùng là 00, 25,50,75
Vì X đã tận cùng 5 nên loại hai trường hợp 00 và 50. X cũng không thể tận cùng là 25 vì $X = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }2\text{ x }5$ là số chẵn mà X đã tận cùng là 5 (là số lẻ). Vậy X phải tận cùng là 75.
Đến đây ta có $X=\overline{abc75} = 45\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c\text{ x }7\text{ x }5$.
$\Leftrightarrow 4\text{ x }\overline{abc} + 3 = 63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c$
Ba số a,b,c lẻ và phải có 1 số nhỏ hơn 4 vì nếu cả 3 số >= 4
Thì $63\text{ x }a\text{ x }b\text{ x }c \ge 63 \text{ x } 4^{3} = 4032$
nhưng $4\text{ x }\overline{abc} + 3\le 3999$
Vậy trong 3 số $a,b,c$ phải có số là 1 hoặc 3. Gọi số đó là $x$, hai số còn lại là $y$ và $z$.
Vai trò $y$ và $z$ như nhau nên giả sử $y \le z$
Vì X chia hết cho 9 nên $a+b+c ≡ 6 \pmod 9$
$\Rightarrow x+y+z ≡ 6 \pmod 9$ (1)
1. Thay x=1 vào có $y+z ≡ 5 \pmod 9 $
$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 5 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 14 \end{align}\right .$
$\Rightarrow (y;z) \in \{ (5;9),(7;7)\}$
Thử:
45*1*5*9*7*5 = 70875 (loại)
45*1*7*7*7*5 = 77175 (chấp nhận với a=7,b=7,c=1)
2. Thay x=3 vào (1) ta suy ra $y+z ≡ 3 \pmod 9$
$\Rightarrow \left \lbrack \begin{align} y+z &= 3 \ \text{ (loại vì y,z cùng lẻ)}\\y+z &= 12 \end{align}\right .$
$\Rightarrow (y;z) \in \{(5;7),(3;9)\}$
Thử:
45*3*5*7*7*5 = 165375 (loại)
45*3*3*9*7*5 = 127575 (loại)
Đáp số: 77175
