Bài 5 Thi HSG Toán Vòng 2 Tỉnh Long An 2018

Đề: Cho hàm số f: R $\rightarrow$ R thoả f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)) $\forall x,y \in R$
1) CMR Nếu tồn tại $a \in R$ sao cho $f(a) \neq 0$ thì f là đơn ánh
2) Tìm tất cả các hàm f.
Bài giải:
1) Ta xét $\forall y_1,y_2 \in R$, sao cho $f(y_1) = f(y_2)$
Lần lượt thế $x = a, y = y_1$ và $x = a, y = y_2$ vào đẳng thức đã cho ta có:
$f(af(y_1))+f(f(a)+f(y_1))=y_1f(a)+f(a+f(y_1)) (1)$
$f(af(y_2))+f(f(a)+f(y_2))=y_2f(a)+f(a+f(y_2)) (2)$
Từ (1) và (2) suy ra $y_1f(a) = y_2 f(a)\implies y_1 = y_2$.
Do đó f là đơn ánh.
2) Thử f(x) = 0 $\forall x \in R$ thoả mãn đề bài.
Ta tìm f trong trường hợp còn lại nghĩa là f là một đơn ánh.
Thay x = 0, y = 1 vào đẳng thức đã cho trong đề bài ta có:
f(0)+f(f(0)+f(1)) = f(0) + f(0+f(1)) $\implies$ f(f(0)+f(1)) = f(0+f(1)) $\implies$ f(0) + f(1) = 0 + f(1) $\implies$ f(0) = 0
Thay y = 0 vào đẳng thức trong đề bài:
f(xf(0))+f(f(x)+f(0)) = 0f(x)+f(x+f(0)) $\implies$ f(f(x)) = f(x) $\implies$ f(x) = x.
Vậy ta có: f(x) = 0 $\forall x \in R$ hoặc f(x) = x $\forall x \in R$

Bài viết liên quan