Câu 3a, Thi tuyển lớp 10 chuyên, Đại học khoa học năm học 2025-2026

Đề:

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y,z thỏa: $x^2-9y^2+10=3^z$
Bài giải:

$x^2-9y^2+10=3^z$

$\Leftrightarrow (x^2+1) -9y^2+9=3^z$

Nếu $z \ge 1$ thì $3^z \vdots 3$

và $-9y^2\vdots3 \land 9\vdots 3$

Suy ra $x^2+1 \vdots 3$

+ Xét $x=3k$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2 \Rightarrow x^2+1=9k^2+1$ không chia hết cho 3

+ Xét $x=3k+1$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2+6k+1 \Rightarrow x^2+1=9k^2+6k+2=3p-1$ không chia hết cho 3

+ Xét $x=3k-1$ ($k \in N$) $\Rightarrow x^2=9k^2-6k+1 \Rightarrow x^2+1=9k^2-6k+2=3p-1$ không chia hết cho 3

Do đó không thể tồn tại x để $x^2+1 \vdots 3$

Vậy $z=0$

Phương trình đã cho thành $x^2-9y^2+10=3^0$
$\Leftrightarrow x^2-9y^2+10=1$

$\Leftrightarrow x^2-9y^2+9=0$

Từ đây ta suy ra $x^2\vdots3$ 

nên x có dạng $x=3k$

$9k^2-9y^2+9 =0 $

 $\Leftrightarrow k^2-y^2+1 =0 $

$\Leftrightarrow y^2-k^2 = 1$

$\Leftrightarrow (y-k)(y+k)=1$

$\Rightarrow y-k = 1 \land  y+k =1$

$ \Rightarrow y=1 \land k = 0$

$ \Rightarrow y=1 \land x= 0$

Thử lại bộ (0;1;0) thấy thỏa mãn 

Vậy x=0, y=1, z=0 

Bài viết liên quan