Câu 2a, Thi chuyên 10 Bạc Liêu, năm học 2025-2026

 Đề:

Giải hệ phương trình:

$\left \lbrace \begin{aligned}&x^2+(x-1)(y+1) =2y^2-1 \\&x^2+y^2-10= 0\end{aligned}\right.$

Bài giải:

Biến đổi phương trình thứ nhất:

$x^2+(x-1)(y+1) =2y^2-1$

$\Leftrightarrow x^2+xy+x-y-1=2y^2-1$

$\Leftrightarrow 2y^2+(1-x)y-x^2-x=0$

Giải phương trinh bậc hai này theo biến y.

Ta có $\Delta = (1-x)^2-4.2.(-x^2-x)=x^2-2x+1+8x^2+8x=9x^2+6x+1=(3x+1)^2 \ge 0 \forall x$

Ta tính ra được $y=x$ hoặc $y = -\frac{x+1}{2}$

• $y = x$ thay vào phương trình thứ 2 ta có:
  $x^2+x^2-10=0$
  $\Leftrightarrow 2x^2=10$
  $\Leftrightarrow x^2 = 5$
  $ \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}$
  Ta thu được hai nghiệm $(-\sqrt{5};-\sqrt{5}), (\sqrt{5};\sqrt{5})$
• $y = -\frac{x+1}{2}$ thay vào phương trình thứ hai ta có:
  $x^2+(-\frac{x+1}{2})^2-10=0$
  $\Leftrightarrow 5x^2+2x-39=10$
  Giải phương trình bậc hai này ta có hai nghiệm $x=-3$ và $x=\frac{13}{5}$
  Tương ứng với $y=1$ và $y=-\frac{9}{5}$
  Ta thu thêm hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(-3;1),(\frac{13}{5};-\frac{9}{5})$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

$(-\sqrt{5};-\sqrt{5}), (\sqrt{5};\sqrt{5}),(-3;1),(\frac{13}{5};-\frac{9}{5})$

Bài viết liên quan