Câu 43 Đề Toán Tốt nghiệp THPT 2024 (mã đề 123)

Đề bài:

Lời giải:

Vì phương trình có hai nghiệm phức và phần ảo khác 0 nên $\mathrm{\Delta }<0$
$|z_1|=\sqrt{(\frac{-b}{2a}{)}^2+(\frac{\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}{)}^2}=\sqrt{\frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}}=\sqrt{\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{c}{a}}$
Từ điều kiện $|z_1|=\frac{1}{\sqrt{k}}$
Ta suy ra $a=kc$

Vì $z_1-z_2$ có phần ảo bằng phần ảo số phức $2z_1$ và phần thực bằng 0
Nên từ: $|2z_1-\frac{1}{9}|=|z_1-z_2|$ ta suy ra được phần thực của số phức $2z_1-\frac{1}{9}$ phải bằng 0 suy ra $\frac{-b}{a}-\frac{1}{9}=0$
hay $a=-9b$ hay $b=-\frac{kc}{9}$ 
Do $z_3-w$ là thuần ảo nên có phần thực bằng nhau.
Gọi $m$ là phần ảo của $z_3$ ($m\in Z$)

$|z_3|\le |w|$

suy ra $m^2\le \frac{-\mathrm{\Delta }}{4c^2}=\frac{4ac-b^2}{4c^2}=\frac{4(kc)(c)-(-\frac{kc}{9}{)}^2}{4c^2}$

hay $m^2\le k-\frac{k^2}{324}$
Để có đúng 9 số nguyên $m$ thỏa bất đẳng thức này thì:
$16\le k-\frac{k^2}{324}<25$
Giải bất phương trình kép bậc 2 với ẩn số là k ta có nghiệm:
$162-18\sqrt{65}\le k<162-36\sqrt{14}$ hoặc $162+36\sqrt{14}\le k<162+18\sqrt{65}$ 

vì k là số nguyên suy ra $17\le k\le 27$ hoặc $297\le k\le 307$
Vậy có 22 số nguyên k.
Đáp án Ⓒ.