Câu 1, Lớp 10, ĐHSP Hà Nội 2017

Đề:

Cho biểu thức:

$P=\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b}{a^2-b^2}+\frac{b}{a-b})$

với a>b, b>0, $a\ne b$, $a+b\ne a^2$

1. CMR: P=a-b

2. Tìm a,b biết rằng P=1 và $a^3-b^3=7$

Bài làm:

1. $M=\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b}{a^2-b^2}+\frac{b}{a-b}$

 $=\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b+b(a+b)}{a^2-b^2}$

$=\frac{a^3+a^2+2ab+a^{2}b+b^2}{a^2-b^2}$

$=\frac{a^3+a^{2}b+a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}$

$=\frac{a^2(a+b)+(a+b{)}^2}{a^2-b^2}$

$=\frac{(a+b)(a^2+a+b)}{a^2-b^2}$

Do a> 0, b> 0, nên $a+b\ne 0$ 

$M=\frac{a^2+a+b}{a-b}$ 

$T=\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}$

$=\frac{a^4-a^2-2ab-b2}{(a-\sqrt{a+b})(a+\sqrt{a+b})}$

$=\frac{a^4-a^2-2ab-b2}{a^2-(a+b)}$

$=\frac{(a^2{)}^2-(a+b{)}^2}{a^2-(a+b)}$

$=a^2+a+b$

Do đó:

$P=\frac{T}{M}=a-b$

2. $P=1⟺a-b=1⟺a=b+1$

$a^3-b^3=7$ 

$⟺(b+1{)}^3-b^3=7$ 

$⟺3b^2+3b+1=7$ 

$⟺b^2+b-2=0$ 

$⟺b=1\vee b=-2$

Tuy nhiên b > 0 do đó $b=1\Rightarrow a=2$

Đáp số: a=2, b=1

Bài viết liên quan