Câu II 1) Thi tuyển lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự Nhiên (Hà Nội) năm 2025

 Đề:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

${25}^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

Bài giải:

${25}^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)=(4^x+4x^2+3x+4)5^y$

$\iff (5^2{)}^y+(4^x+1)(4x^2+3x+3)-[(4^x+1)+(4x^2+3x+3)]5^y=0$

$\iff [(5^y{)}^2-(4^x+1)5^y]+[(4^x+1)(4x^2+3x+3)-(4x^2+3x+3)5^y]=0$

$\iff 5^y[5^y-(4^x+1)]+(4x^2+3x+3)[(4^x+1)-5^y]=0$

$\iff [5^y-(4^x+1)][5^y-(4x^2+3x+3)]=0$

$\iff [\begin{array}{r}{5}^y-(4^x+1)=0(1)\\ 5^y-(4x^2+3x+3)=0(2)\end{array}$

• Xét phương trình (1): $(1)\iff 5^y=4^x+1(3)$
  Ta có: $4\equiv 1(\mathrm{mod}3)\Rightarrow 4^x\equiv 1(\mathrm{mod}3)\Rightarrow 4^x+1\equiv 2(\mathrm{mod}3)$
  Suy ra y phải là số lẻ (vì nếu y là số chẵn thì $5^y\equiv 1(\mathrm{mod}3)$)
  Đặt $y=2k+1,k=0,1,2,...$, thay vào (3), ta có:
  $5^{2k+1}=4^x+1\iff {5.25}^k=4^x+1$
  Vì $25\equiv 1(\mathrm{mod}8)\Rightarrow {5.25}^k\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ 
  Nếu $x\ge 2\Rightarrow 4^x+1={16.4}^{x-2}+1\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ (vô lý)
  Vậy $x=1\Rightarrow y=1$ 
• Xét phương trình (2):$(2)\iff 5^y=4x^2+3x+3(4)$
  Do $4x^2+3x+3=x^2+3x^2+3x+3\equiv x^2(\mathrm{mod}3)\Rightarrow 5^y\equiv x^2(\mathrm{mod}3)$ 
  Mà số chính phương thì chia cho 3 dư 0 hoặc 1 suy ra y phải là số chẵn. Đặt $y=2k$
  $(4)\iff 5^{2k}=4x^2+3x+3$
  $\iff (5^k{)}^2=4x^2+3x+3$ 
  $\Rightarrow 4x^2+3x+3$ là số chính phương
  Mà $(2x{)}^2<4x^2+3x+3<4x^2+3x+3+5x+1$
  $=(2x{)}^2+2.2x.2+2^2=(2x+2{)}^2$
  Suy ra: $4x^2+3x+3=(2x+1{)}^2$
  $\iff 4x^2+3x+3=4x^2+4x+1$
  $\iff x=2\Rightarrow y=2$

Vậy các cặp số nguyên dương (x;y) cần tìm là $(1;1),(2;2)$