Câu 2 a) Môn Toán, Thi vào lớp 10 chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2025

 Đề:

Cho p là số nguyên tố ; a,b là các số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ và $a+b$ chia hết cho p. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{p}=4$

Bài giải:
Do $a+b$ chia hết cho p nên ta đặt $a+b=pk$ với k là số nguyên dương.
hay $a = pk - b$ .

Ngoài ra $\frac{p}{a}+\frac{p}{b}=1$ 

$\Leftrightarrow p(a+b) = ab$

$\Rightarrow p^2k=ab=(pk-b)b=pkb-b^2$

$\Rightarrow b^2-pkb+p^2k=0$

Giải phương trình bậc hai theo b. Tính $\Delta=(-pk)^2-4(p^2k)=p^2(k^2-4k)$
$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow k \ge 4$ (do k là số nguyên dương)
Do b là số nguyên dương nên $\Delta$ phải là số chính phương $\Rightarrow k^2-4k$ phải là số chính phương
$  k^2-4k + (16-4k)  \le k^2-4k < k^2-4k+4 \Rightarrow (k-4)^2 \le k^2-4k < (k-2)^2$
Vì $k^2-4k$ là số chính phương nên:
$k^2-4k = (k-3)^2 \lor k^2-4k = (k-4)^2$

$\Leftrightarrow k=\frac{9}{2} \lor k = 4$
Do k là số nguyên dương và $k\ge 4$ nên ta chọn $k=4$
Với $k=4$ thì $\Delta =0 $ và $b=2p \Rightarrow a=2p$
Vậy $a+b=4p \Leftrightarrow \frac{a+b}{p}=4$ (đpcm)