Toán 6-Bài 6-Kiểm tra giữa học kỳ 2-THCS Ngô Quyền

 Đề bài:

Chứng tỏ rằng:

$\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots +\frac{1}{{13}^2}+\frac{1}{{14}^2}<\frac{1}{7}$

Bài giải:

Ta có:

$\frac{1}{6^2}<\frac{1}{5.6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$

$\frac{1}{7^2}<\frac{1}{6.7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$

$\frac{1}{8^2}<\frac{1}{7.8}=\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$

$\cdots$

$\frac{1}{{13}^2}<\frac{1}{12.13}=\frac{1}{12}-\frac{1}{13}$

$\frac{1}{{14}^2}<\frac{1}{13.14}=\frac{1}{13}-\frac{1}{14}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, lưu ý các cặp phân số bằng nhau có dấu ngược nhau sẽ triệt tiêu nhau. Ta có: 

$\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots +\frac{1}{{13}^2}+\frac{1}{{14}^2}$

$<\frac{1}{5}-\frac{1}{14}=\frac{9}{10}.\frac{1}{7}<\frac{1}{7}$ (đpcm)